Barycentre de deux points, avec coordonnées

Bonsoir,

En revisant un exercice de BAC je bloque sur une question :

" On considère les points A(-1 ; 1 ; 3) , B(2,1,0) et C (4 ; -1 ;5).
On peut écrire C comme barycentre des points A et B" .

Il s'agit d'un vrai/faux à justifier.
Ici, on ne peut pas utiliser le barycentre de deux points pondérés ? A quoi servent les autres coordonnées ?

Merci d'avance pour l'aide qui pourrait m'être apportée !
Boubou05

Bonsoir,

Pourquoi on ne peut pas utiliser le barycentre de deux points pondérés ?
Ecris la relation.

Car il faudrait avoir (A, alpha) (B, beta) pour pouvoir écrire C barycentre telle que C = (Aalpha + Bbeta)/ alpha + beta ?

Il faut vérifier si existe ou non au moins deux coefficients qui vérifient cette relation.

J'avoue que là, je ne comprends pas bien comment faire ...

A partir des coordonnées des points écris les relations liant alpha et béta
(alpha + béta )C = alpha A + béta C

Justement, ça je ne comprends pas comment faire ...
J'ai l'impression de passer à coté d'une évidence !

Bonsoir,

Le barycentre de deux points est sur la droite passant par ces deux points.

La question à se poser est : A B C sont-ils alignés ?

Une piste :

Calculer les coordonnées de $ab⃗\vec{ab}$ et les coordonnées de $ac⃗\vec{ac}$

Si les vecteurs sont colinéaires , la réponse est : VRAI
Si les vecteurs ne sont pas colinéaires , la réponse est : FAUX

Merci pour cette aide !

J'ai calculé les coordonnées de vecteurAB et vecteurAC. Je ne les trouve pas colinéaires donc les points ne sont pas alignés.
Est-ce bien ça ?

Dans le cas inverse, en admettant que les vecteurs eussent été colinéaires, comment prouver que C était bien le barycentre des deux autres points ?

Oui , c'est bien ça.

C n'appartient pas à la droite (AB) donc on ne peut pas écrire C comme barycentre des points A et B . La réponse demandée est donc : FAUX

Si A,B,C
avaient été alignés, La réponse demandée aurait été: VRAI

Dans ce cas , si en plus , tu veux trouver des coefficients α , β tels que C soit le barycentre de {(A,α),(B,β)} , tu peux utiliser une des propriétés des barycentres ( Noemi te l'a indiqué ) ou revenir à la définition même du barycentre.

Je te donne un exemple concret.

Soit A(-1,1,3) , B(2,1,0) , C(0,1,2)

$\text{\vec{ab}=3\vec{ac}$ (***)

Tu peux faire le calcul vectoriel avec la relation de Chasles , pour te ramener à la définition de Baycentre ( c'est le plus rapide

$\text{\vec{ab}=3\vec{ac} \leftrightarrow \vec{ac}+\vec{cb}=3\vec{ac}$

Après transformations , tu dois trouver :

$\text{2\vec{ca}+\vec{cb}=\vec{0}$ , d'où la réponse :**C est le barycentre de {(A,2),(B,1)}**Une autre façon possible pour trouver des coefficients satisfaisants :

Pour α+β≠0

$\text{\vec{oc}=\frac{\alpha\vec{oa}+\beta\vec{ob}}{\alpha+\beta}$

Si tu préfères : $\text{\alpha\vec{oa}+\beta\vec{ob}=(\alpha+\beta)\vec{oc}$

Cette égalité se traduit par 3 égalités ( une pour les abscisses, une pour les ordonnées , une pour les côtes )

Tu dois trouver , après transformations , ( toujours avec la condition α+β≠0

$\left{-\alpha+2\beta=0\\alpha+\beta=\alpha+\beta\2\alpha+2\beta=3\alpha\right$

Après calculs : $\text{\alpha=2\beta$

Conclusion :C est le barycentre de {(A,2β),(B,β)} avec β≠0Tu peux dire que**C est le barycentre de {(A,2),(B,1)}**Tu as le choix !

Merci beaucoup pour votre aide !
En reprenant d'autres exos, j'ai effectivement retrouvé ces calculs !

Bonnes révisions !