Démontrer que racine de 2 n'est pas un nombre rationnel



  • Bonjour

    Je reprends tous les cours de math du lycée de la seconde à la terminale S pour préparer mon entrée à l'Université en L1 pour la seconde fois. J'étudie donc des cours trouvés en ligne.

    Dans le cours sur les ensembles de nombres il y a la phrase suivante "On démontrera que le nombre racine de 2 n'est pas un nombre rationnel. On dit qu'il est irrationnel". Évidemment je n'avais pas oublié cette idée en tant que fait mais je ne saurais pas le démontrer. Comment est-ce que je peux montrer que racine de 2 ne peut pas s'écrire sous la forme d'une fraction de deux nombres entiers ?

    Merci



  • Salut Aviaesp 😃

    Tu supposes que 2\sqrt{ 2 } est rationnel dont d'après la définition il doit s'écrire de la forme : 2=pq\sqrt{ 2 } = \frac{ p }{ q } avec p et q des entiers relatifs tel que q soit non nul. Et pendant qu'on n'y ait on suppose aussi cette faction irréductible
    Puis 2=pqq2=p2q2=p2\sqrt{ 2 } = \frac{ p }{ q } \Leftrightarrow q \sqrt{ 2 } =p \Leftrightarrow 2q^{ 2 } =p^{ 2 }. Ceci montre que p est pair (Pourquoi ?) puis on montre aussi que q l'est aussi (pourquoi ?) Du coup p/q se simplifie si p et q sont pairs. Contradiction avec ce qui à été dit au début


  • Modérateurs

    Bonjour,
    La démonstration se trouve sur le net, notamment ici : Racine carrée de 2 est irrationnel


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