Démontrer que racine de 2 n'est pas un nombre rationnel



  • Bonjour

    Je reprends tous les cours de math du lycée de la seconde à la terminale S pour préparer mon entrée à l'Université en L1 pour la seconde fois. J'étudie donc des cours trouvés en ligne.

    Dans le cours sur les ensembles de nombres il y a la phrase suivante "On démontrera que le nombre racine de 2 n'est pas un nombre rationnel. On dit qu'il est irrationnel". Évidemment je n'avais pas oublié cette idée en tant que fait mais je ne saurais pas le démontrer. Comment est-ce que je peux montrer que racine de 2 ne peut pas s'écrire sous la forme d'une fraction de deux nombres entiers ?

    Merci



  • Salut Aviaesp 😃

    Tu supposes que 2\sqrt{ 2 } est rationnel dont d'après la définition il doit s'écrire de la forme : 2=pq\sqrt{ 2 } = \frac{ p }{ q } avec p et q des entiers relatifs tel que q soit non nul. Et pendant qu'on n'y ait on suppose aussi cette faction irréductible
    Puis 2=pqq2=p2q2=p2\sqrt{ 2 } = \frac{ p }{ q } \Leftrightarrow q \sqrt{ 2 } =p \Leftrightarrow 2q^{ 2 } =p^{ 2 }. Ceci montre que p est pair (Pourquoi ?) puis on montre aussi que q l'est aussi (pourquoi ?) Du coup p/q se simplifie si p et q sont pairs. Contradiction avec ce qui à été dit au début


  • Modérateurs

    Bonjour,
    La démonstration se trouve sur le net, notamment ici : Racine carrée de 2 est irrationnel


 

Découvre aussi nos cours et fiches méthode par classe

Les cours pour chaque niveau

Encore plus de réponses par ici

Il semble que votre connexion ait été perdue, veuillez patienter pendant que nous vous re-connectons.