Suite décroissante alors que fonction croissante

Bonjour

En terminale, on a vu que parfois un pouvait remplacer une suite par une fonction du type $f(u_{n})=...$ définie par $f(u_{n})=u_{n+1}$ . A partir de cette fonction dont on étudie les variations, on peut déterminer les variations de la suite, par récurrence.

Seulement voila, il est arrivé dans l'année que la fonction $f(u_{n})$ soit croissante et la suite décroissante ou inversément. Et je voulais savoircomment cela était possible ?

Je n'ai pas d'exemple en tête et n'ai pas mes cours à disposition, désolé.

Merci de votre (future) aide !

Bonjour,
Le fait que la fonction f soit par exemple croissante intervient pour démontrer par récurrence, lors de l’hérédité, que la suite est selon le cas croissante ou décroissante.
Mais la suite n’est pas seulement définie à l’aide de la fonction f, il y a aussi la valeur initiale x0. Selon que x1 = f(x0) sera supérieur ou inférieur à x0, la suite sera croissante ou décroissante.
Prends un exemple : f(x) = x² : elle est croissante sur l’intervalle ]0 ; +∞[.

choisis x0 = 2, puis calcule x1 , x2 , x3 , … tu vois que la suite est croissante.
Choisis maintenant x0 = 1/2 et calcule de même x1 , x2 , x3 , … : tu vois que cette fois la suite est décroissante.
Et que se passe-t-il si tu choisis x0 = 1 ?

Donc pour ton 2) je dois montrer comme cela :

Initialisation :
U0=1/2
U1=1/4
U0>U1 donc P(0) est vraie

Mais pour l'hérédité ?

Qu'est-ce qu'une fonction croissante ?
Si a ≤ b alors f(a) ≤ f(b)
Et inversement : si a ≥b alors f(a) ≥ f(b)

Donc pour l'hérédité, tu pose P(n) : $x_n$ ≤ $x_{n-1}$
Donc, puisque f est croissante : $f(x_n$ ) ≤ $f(x_{n-1}$ )
et donc $x_{n+1}$ ≤ $x_n$
P(n+1) est vraie.
Tu peux conclure.

Bonjour,

Un exemple illustré ici : fonction décroissante mais suite non monotone