Déterminer un polynome degré 3 répondant à des conditions

Bonjour, j'aimerai de l'aide pour un exercice:
Soit P un polynôme de degré 3 tel que P(-1)=0. On suppose en outre qu'il existe trois polynomes R,S,T tel que, pour tout réel X on ait :
P(X)= (X-1)R(X)+10
P(X)= (X-2)S(X)+10
P(X)= (X-3)T(X)+10
Déterminer le polynome P.
Merci d'avance pour votre précieuse aide.
A+

salut

on remarque ici que
p(x)-10=(x-1)r(x)
p(x)-10=(x-2)s(x)
p(x)-10=(x-3)t(x)

on voit immediatement que p(x)-10 est multilple commun de
(x-1) , (x-2) et (x-3)

alors p(x)-10=ppcm((x-1) , (x-2) , (x-3))

je te laisse faire la suite si tu peux sinon , fais signe...

a+

Pourrai tu m'aider d'avantage :s parce que là j'avou que je bloque.
Merci d'avance.

Salut drecou,
Je te donne quelques indications avec lesquelles je pense que tu seras plus familier.
D'abord tu poses P(x)=ax^3+bx²+cx+d
Soit Q(x) le polynôme tel que Q(x)=P(x)-10
L'équation P(X)= (X-1)R(X)+10 te permet de dire que Q(1)=0.
Je pense que tu arriveras à trouver les 3 autres équations te permettant de trouver les 4 coefficients a, b, c, d.
A bientôt !

Merci beaucoup car le ppcm ça remonte à la 3eme et j'ai un peu oublié.
A+

....bon on trouve ppcm((x-1),(x-2),(x-3))=x^3-6x²+11x-6

alors p(x)-10=x^3-6x²+11x-6

et p(x)=x^3-6x²+11x+4

en effectuant successivement la division euclidienne de p(x)-10 par (x-1)

(x-2) et (x-3) on trouve les expressions de r(x) , s(x) et t(x)

le pgcd de (x-1),(x-2),(x-3) vaut 1 , si bien que ppcm (x-1),(x-2), $x-3)=(x-1)(x-2)(x-3)=x^3$ - 6x² + 11x - 6.

(j'ai juste rajouté le cube manquant, N. d. Z.)

drecou : au collège tu as vu essentiellement le pgcd d'entiers.
c'est en term à l'heure actuelle que l'on reparle d'arithmétique, en spé math, et notamment de ppcm d'entiers.
ces notions (pgcd, ppcm) s'étendent au cadre des polynômes.
si l'on veut rester dans le cadre des programmes scolaires actuels, c'est plutôt la méthode indiquée thierry qui est attendue de ta part : pose des coefficients (a, b, c et d) indéterminés pour P, puis utilise les valeurs obtenues en remplaçant x par 1 puis 2 puis 3 pour trouver des conditions (système) portant sur ces coefficients.

En fait flight, tu trouves le bon polynôme mais ton raisonnement est faux. Je t'explique :

Le PPCM est pour les nombres entiers. A ma connaissance le PPCM de fonctions ne signifie rien.
Mettons que le PGCD de (x-1)(x-2)(x-3) vale 1 comme tu le dis. Que dis-tu ensuite : PGCDfoi/PPCM=P(x)-10 ??? Mais le PGCD de P(x)-10 n'est pas forcément celui de (x-1)(x-2)(x-3).
En fait comme tu ne tiens pas compte de la condition P(-1)=0, le véritable polynôme à trouver aurait pu être tel que P(x)-10=2x^3-12x²+22x-12 qui vérifie les 3 conditions sauf P(-1)=0.

Bonne réflexion

... le ppcm de polynomes n'existe pas ? ... tu en es sur ?

(j'ai eu un cours dessus en classe prepa..) mais à moins que je me trompe le ppcm est plus qu'une notion entendue a des entiers: vois donc ce lien;

http://ufr-math...AS1chap5.pdf

c'est à la page 64 chapitre 5.3.

dis moi ce que tu en pense

a+

Salut.

Je confirme que l'arithmétique est étendue aux polynômes: on définit le PPCM et le PGCD de polynômes. Je n'en dirai pas davantage dessus.

Ce que je me demande, c'est si c'est forcément le PPCM. Pourrais-tu me prouver que la division de P(X)-10 par un entier(différent de 1) ne pourrait pas être un PPCM des 3 expressions? Parce que dans ce cas cela prouverait qu'il n'y a pas de commun multiple plus petit que celui que tu as défini, et donc que P(X)-10 est bien le PPCM.

@+

Ce n'est pas la peine de se casser la tête ! C'est complètement hors programme pour un élève de 1°S !!
IL est préférable de lui conseiller de résoudre cet exercice par la méthode d'identification des coefficients (conseil de Thierry du 08/11/05).

Merci quand même de m'avoir parlé des PPCM mais je confirme, c'est loin d'être dans notre programme de 1ere S :s:s
A+

Salut.

Oui, c'est clair que c'est hors programme. Mais il y a besoin de d'infirmer ce qui est faux dans ce qu'a dit flight.

Je termine donc mon message de tout à l'heure(il fallait que je parte en classe donc j'ai écourté).

L'arithmétique(en Post-Bac) est étendu donc aux polynômes, oui, mais en tant qu'objets algébriques ! Et surtout pas aux fonctions polynomiales !

C'était en fait un des points sur lequel Thierry a critiqué flight.

@+

Bonsoir,
Pour être honnête, je n'avais jamais entendu parler de PPCM et PGCD de polynômes, ou alors je ne m'en souvenais pas. Je ne m'étend donc pas sur le sujet puisque je me déclare incompétent.
Ce qui ne m'empêche pas de dire que le raisonnement de flight est faux puisqu'il suffit d'un contre-exemple pour l'affirmer.
Quand P vérifie les 3 conditions :
p(x)-10=(x-1)r(x)
p(x)-10=(x-2)s(x)
p(x)-10=(x-3)t(x)
Alors P(x)-10 peut être de la forme k(x-1)(x-2)(x-3) et pas forcément (x-1)(x-2)(x-3) comme tu l'affirmes flight.

Mais peu importe que l'un de nous se soit trompé (cela nous arrive tous), la question de fond est la suivante :
flight, tu dis toi-même que tu as eu un cours sur les PGCD et PPCM en classe prépa. Cela ne t'empêche pas de dire à Drecou :
flight
alors p(x)-10=ppcm((x-1) , (x-2) , (x-3))
je te laisse faire la suite si tu peux sinon , fais signe...
flight, poste tes solutions niveau prépa si cela te plaît. Mais n'oublie pas de le préciser à l'élève. Le but de ce forum est de les aider. C'est écrit en page d'accueil.
A+

PS : désolé drecou, c'est vrai que tout cela ne te concerne plus guère !