A propos du problème de Paulo sur la racine carrée de -1

Bonjour à tous,
Au sujet du post posé par Paulo : Pb racine carré de -1 !
Je me permets quelques remarques et attends en retour vos critiques ou suggestions.

Personnellement je trouve la question malhonnête et peu « pédagogique » : elle encourage l’élève à utiliser des règles fausses, elle l’incite à négliger les conditions dans lesquelles ces règles s’appliquent. On ne peut même pas dire que l’on « contredit » les règles : elles sont simplement inapplicables.
Rappelons : ces fameuses règles sur les racines carrées (et d’ailleurs plus généralement sur les puissances à exposant non entier) s’appliquent exclusivement(dans R) à des radicandes positifs (ou nuls).
L’auteur de la question semble s’attendre à des calculs du style :
On calcule √ [(-1)(-1)] de deux façons :

√ [(-1)(-1)] = √(+1) = +1
√ [(-1)(-1)] = √(-1) . √(-1) selon la règle √(ab) = √(a).√(b), règle que l’on ne devrait pas appliquer ici.
Et √(-1) . √(-1) = [√(-1)]² = -1 selon la définition [√(a)]² = a, qui ne s’applique pas non plus.

D’où -1 = +1 ce qui est absurde dans R et même dans C.

Une question plus intéressante serait : que pourrait bien signifier le symbole √(-1) ?
Symbole utilisé déjà au seizième siècle et encore de nos jours.
Certainement pas un nombre réel !
Un nombre complexe ? On sait que -1 admet dans C deux racines carrées, notées i et –i depuis Euler. Mais √(-1) désignerait laquelle des deux ?
D’autant que i et –i sont « algébriquement » indiscernables (voir mon article Réflexions sur la représentation des objets orientés).
Serait-ce i ? (pure convention), n’importe laquelle ? (gare la casse !).

C’est pourquoi les algébristes honnissent l’écriture √(-1), réservant le symbole √ (radical) à des radicandes positifs, le résultat étant lui-même par définition positif. Mais certains arithméticiens l’emploient souvent : vous avez peut-être déjà rencontré l’écriture Z[√-1] pour désigner l’ensemble des entiers de Gauss ? Vous préféreriez l’écriture Z[i] ? A moins que vous ne préfériez Z[-i] ? Aucune importance : ces deux ensembles sont les mêmes et donc pourquoi ne pas conserver Z[√-1] ?
Dans le même ordre d’idée, on note souvent Q(√d) les corps quadratiques, que d soit positif ou négatif.

Il s’agit donc en fait d’une convention, explicitée de façon précise (en collège) dans la définition de la racine carrée d’un nombre positif.
Hormis les contraintes de cette définition (et donc des propriétés qui en découlent), il vaut mieux déconseiller aux élèves d’utiliser l’écriture √-1 (ou tout autre analogue), mais ce n’est pas néanmoins une raison pour poser un tabou.

Salut,

C'est aussi en substance ce que je dis à mes élèves (plus brièvement) : la racine carrée est définie pour les nombres positifs. Donc √-1 n'existe pas même si on pourrait l'inventer ...

D'accord : en collège et lycée, point de √-1. Mais en dehors ?

Pour moi, les conditions d'utilisation priment sur les "méthodes" . Deux exemples :

Résoudre (dans R) l'équation √x = 1-x
On élève tout au carré et on obtient deux solutions réelles : réponse sans doute fournie par l'élève.
Or, les conditions x > 0 et x < 1 excluent l'une des ces deux racines.
Résoudre (dans R) l'équation √x = - x -1
On élève tout au carré et on obtient x²+x+1 =0 qui n'admet aucune solution dans R. Réponse de l'élève : pas de solution.
Réponse juste mais raisonnement à mon sens faux (sauf à préciser l'implication si ... alors) car les conditions x >0 et x < -1 sont contradictoires : pas besoin de calculs.

D'où à mon sens l'utilité de ne pas donner plus d'importance aux "propriété" qu'aux conditions de leur utilisation.