Devoir maison sur une fonction homographique

Bonjour,
Mon professeur de maths nous a donné un devoir maison que j'ai commencée, mais je suis malheureusement bloqué, c'est pourquoi je viens vous demander de l'aide.
Soit l'expression y= $3x+1x−4\frac{3x+1}{x-4}$ où x est un réel.

1/Pour quelles valeurs de x le réel y existe-t-il?
$mathbb{R}$ - { $−dc\frac{-d}{c}$ =
= $mathbb{R}$ -{4}

2/Calculer la valeur numérique de y pour chacunes des valeurs suivantes de x:
a)x=-3
J'obtiens y= $87\frac{8}{7}$
b)x= $23\frac{2}{3}$
J'obtiens y= -0.9
c)x=√2 +3
J'obtiens y=-2√2 -10

3/Si y= $14\frac{1}{4}$ , calculer x.
J'obtiens x=-1

(J'espère avoir juste jusque là).

4/ Exprimer x en fonction de y.

Pour quelles valeurs de y le réel x existe-t-il?

Et là je bloque totalement, je ne sais pas du tout dans quelle direction partir.

J'espère que vous pourrez m'aider. Merci et bonne soirée à tous.

Bonsoir,

Vérifie tes calculs pour c) et 3/

Question 4 : y(x-4) = 3x+1
exprime x en fonction de y, (isole x).

Merci. je n'ai pas encore vérifié mes calculs pour c) et 3/.
4/y(x-4)=3x+1
y(x-4)-1=3x
$y(x−4)−13\frac{y(x-4)-1}{3}$ =x

Est-ce correcte? Si oui, le reel x existe pour toutes les valeurs de y non? car le dénominateur =3≠0 ?

Tu n'as pas isolé x car il est aussi à gauche.
yx-3x = ......
puis tu factorises x
x(....) = ....

Oh oui suis-je bête!
J'arrive donc à x= $4y+1y−3\frac{4y+1}{y-3}$
Donc x existe pour y= $mathbb{R}$ -{3}
Cette fois c'est juste?

C'est juste.

Merci beaucoup

On me demande ensuite d'exprimer y- $1y\frac{1}{y}$
en fonction de x, et je bloque de la même manière..

Exprime 1/y
puis y - 1/y
réduis au même dénominateur.

heu..Je ne comprends pas..
Je pars de x= $4y+1y−3\frac{4y+1}{y-3}$
= $4yy−3\frac{4y}{y-3}$ + $1y−3\frac{1}{y-3}$ .
Et ensuite?

Tu pars de y = (3x+1)/(x-4)
tu écris 1/y = ....
puis y - 1/y

$1y=1(3x+1)/(x−+4)\frac{1}{y}=\frac{1}{(3x+1)/(x-+4)}$ ?

qui est égal à (x-4)/(3x+1)

Oh d'accord, je ne me souvenais pas de ça..
$y−1y=3x+1x−4−x−43x+1y-\frac{1}{y}=\frac{3x+1}{x-4}-\frac{x-4}{3x+1}$ ?

On me demande ensuite de montrer que ce résultat est égal à: $(4x−3)(2x+5)(x−4)(3x+1)\frac{(4x-3)(2x+5)}{(x-4)(3x+1)}$
Si je met tout sous le même dénominateur j'obtient donc: $(3x+1)2−(x−4)2(x−4)(3x+1)\frac{(3x+1)^{2}-(x-4)^{2}}{(x-4)(3x+1)}$
Ce qui une fois développé, si je n'me trompe pas est egal à $2x2+14x−15(x−4)(3x+1)\frac{2x^{2}+14x-15}{(x-4)(3x+1)}$
Je ne comprends donc pas comment arrivé au résultat..

(Merci encore pour l'aide apporté jusque là)

Inutile de développer le numérateur.
Factorise le numérateur en utilisant l'identité remarquable
a² - b² = ....

Merci beaucoup, vraiment!
J'ai enfin fini mon DM!