démontrer que la dérivée d'une fonction impaire est une fonction paire



  • bonjour,

    je dois démontrer que la dérivée d'une fonction impaire est une fonction paire

    je sais que une fonction paire c'est f( - x) = f(x) mais apres je ne sais pas comment le faire

    et aussi : si f est une fonction dérivable de dérivée paire peut on en conclure que f est impaire ?

    Pouvez-vous m'aidez ?

    MERCI

    merci de donner des titres significatifs


  • Modérateurs

    Bonjour,

    Donne l'expression de la dérivée de f(-x) en fonction de f'(x).



  • avec les fonctions composées ça me fait f'(-x)= - f'(x) c'est ça ???


  • Modérateurs

    Oui,

    Donc si la fonction est impaire,
    f(x) = .....
    et
    f'(x) = ....



  • f(-x)=-f(x) si f est impaire????


  • Modérateurs

    Bonjour,

    Attention à la dérivée de f'(-x) ( par rapport à x)

    J'ai cru voir une erreur.

    La dérivée de f(-x) , par rapport à la variable x , est
    $\text{f'(-x) \times (-1) = -f'(-x)$

    En partant de l'égalité f(-x) =- f(x) et en dérivant chaque membre , tu dois arriver à f'(-x)=f'(x) , d'où la réponse souhaitée



  • je ne comprends plus

    je pars de quelle expression pour arriver à quoi ???


  • Modérateurs

    Tu pars def impaire ( c'est l'hypothèse ) :

    Donc , pour tout x de l'ensemble de définition : f(-x)=-f(x)

    Tu dérives chaque membre ( lorsque deux fonctions sont égales , leurs dérivées son égales )

    Après calculs et transformations , tu dois arriver à : f'(-x)=f'(x)

    Conclusion : f' est paire .



  • et pour la 2 ème partie de la question je fais comment ???


  • Modérateurs

    J'espère d'abord que tu as fait la première question.

    Une piste pour la seconde ( seulement une piste )

    Tu sais que la dérivée d'une constante vaut 0

    Des exemples :

    Pour f(x)=1xf(x)=\frac{1}{x} , la dérivée f' est définie par f(x)=1x2f'(x)= -\frac{1}{x^2}
    f' est paire et f est impaire

    Pour g(x)=1x+1g(x)=\frac{1}{x}+1 , la dérivée g' est définie par g(x)=1x2g'(x)= -\frac{1}{x^2}
    g' est paire et g ?

    Je te laisse réfléchir...


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