Factorisation d'un polynôme par (x-a)²

Factorisation d'un polynome par (x-a)²

P désigne une fonction polynome de degré supérieur ou égal à 2.
On rappelle que P est factorisable par (x-a)² lorsqu'il existe un polynôme Q tel que, pour tout réel x, P(x)=(x-a)²Q(x)

Etablir une relation simple entre les degrés respectifs des polynômes P et Q.
Montrer que si P est factorisable par (x-a)², alors P(a)=P'(a)=0
On suppose que P(a)=0, et on désigne Q1 le polynome tel que P(x)=(x-a)Q1(x)/
Montrer que si P'(a)=0 alors P est factorisable par (x-a)²
Que peut-on déduire des propriétés :

P est factorisable par (x-a)²
Le polynome P verifie P(a)=P'(a)=0

J'ai répondu à deux questions :

P est de degré n et Q de degré n-1
P(x)=(x-a)²Q(x)
P(a)=(a-a)²Q(x)=0
P'(a)=(0-0)²Q(x)+(0)²Q'(x)=0
Donc P(a)=P'(a)=0

Vous etes d'accord? Et pour les autres questions pouvez vous m'aider

Bonsoir,

pourquoi n-1 ?
il faut montrer que P'(x) contient le facteur (x-a)
Calculer P'(x) et utiliser la condition P'(a) = 0

Au risque de me faire jeter, pouvez-vous me donner le résultat? Je sature là, je préfère encore rendre mon DM avec deux questions auxuqelles je n'aurais pas répondu demain matin.

C'est n-1 le ddegré de Q, ou pas?

Et j'arrive pas à montrer que P'(x) contient le facteur (x-a). (Car je n'arrive pas à calculer P'(x).)

Help

(x-a)² donc degré 2, soit Q degré n-2
Pour la dérivée forme U x V
faire U'V + UV' et montrer que (x-a) peut être mis en facteur
même approche que 2)

La 2) j'ai reussi Enfin (x-a) n'apparait pas mais bon en tout cas ca fait bien P'(a)=0 à la fin.

Je vais essayer le trois

Merci pour la reponse 1)

Ouais en fait j'y arrive pas. Pouvez-vous m'aiguillez? (Me donner les étapes à suivre ou je ne sais quoi.) Je crois que je vais déceder

pour la 3 calcule P' en utilisant UxV.

P'(x) je trouve (2x-2a)Q(x)+(x²-2ax+a²)Q'(x).

P(x) = (x-a) Q1(x)
P'(x) = ....