Ecriture d'une fonction cubique



  • Soit les points A et B de coordonnées respectives (0;1) et (4;3).

    On veut relier le point A et le point B à l'aide d'une courbe C d'équation y = ax^3+bx^2+cx+d (appelée cubique).

    On impose, de plus, que les tangentes en A et en B aient pour coefficient
    directeur respectifs 0 et 1.

    Il s'agit de déterminer les réels a, b, c et d pour que ces conditions soient remplies.

    1. Montrer que les conditions imposées à C s'expriment par quatre équations d'inconnues a, b, c et d.
    2. Résoudre le système formé par ces quatre équations et donner l'expression de la courbe
    3. Représenter C, les points A et B et les tangentes en A et en B sur un graphique

    Je suis bloqué je n'arrive pas du tout a le faire!
    Si quelqu'un pouvais m'aider
    Merci d'avance.


  • Modérateurs

    Bonjour,

    Une aide pour démarrer :

    $\text{f(x)=ax^3+bx^2+cx+d$

    Les données te permettent d'écrire :

    f(0)=1
    f(4)=3
    f'(0)=0
    f'(4)=1

    Tu obtiendras ainsi un système de 4 équations à 4 inconnues a,b,c,d à résoudre.



  • [quote=mtschoon]Bonjour,

    Une aide pour démarrer :

    $\text{f(x)=ax^3+bx^2+cx+d$

    Les données te permettent d'écrire :

    f(0)=1
    f(4)=3
    f'(0)=0
    f'(4)=1

    Merci. oui sa je l'ai déjà trouver mais comment faire pour avoir les 4 équations?


  • Modérateurs

    Une prochaine fois , indique ce que tu as fait...

    Traduis les 4 conditions en équations.

    Pour la première : $\text{a0^3+b0^2+c0+d=1$
    Tu obtiens ainsi d=1

    Continue.



  • $\text{a0^3+b0^2+c0+d=1$
    -d=-1
    alors d=1

    après sa fait:
    $\text{a(3)^3+b(3)^2+c(3)+d$
    9a+6b+3c+d
    9a+6b+3c+1
    mais après je bloque.


  • Modérateurs

    Pour la seconde équation , c'est x que tu dois remplacer par 4 et écrire que le résultat vaut 3
    ( sinon , tu n'as pas d'équation...)



  • Alors sa fait:
    $\text{a(4)^3+b(4)^2+c(4)+d=3$
    12a+8b+4c+d=3
    12a+8b+4c+1=3

    mais après je bloque


  • Modérateurs

    Fais attention !

    434^3 ne vaut pas 12
    424^2 ne vaut pas 8
    Modifie ta seconde équation.

    Ensuite , tu calcules f'(x)
    En écrivant f'(0)=0 tu auras la troisième équation
    En écrivant f'(4)=1 tu auras la quatrième équation

    Enfin , tu résoudras le système ainsi obtenu.



  • seconde équation: 64a+16b+4c+1=3

    f '(x)=ax^3+bx²+cx+d
    f '(x)=3ax²+2bx+c

    f '(0)=0 → la troisième équation
    f '(0)=3a(0)²+2b(0)+c=0 alors
    c=0

    f '(4)=1 → la quatrième équation
    f '(4)=3a(4)²+2b(4)+c=1
    f '(4)=48a+8b+c

    c'est ça?


  • Modérateurs

    Bonjour clown1994,

    Tes calculs sont corrects.



  • après
    je n'arrive pas a trouver a et b


  • Modérateurs

    Ecris les équations dépendant de a et b.



  • f (4)=64a+16b+4c+1=3 d=1 et c=0
    64a+16b+0+1=3
    64a+16b=2

    f '(4)=48a+8b+c=1
    48a+8b=1

    a=-80/64=-5/4
    b=41/8

    c'est ça?


  • Modérateurs

    Non,

    De plus vérifie l'énoncé.



  • oui j'ai envoyer un email a mon prof l'énoncé est faut
    merci


  • Modérateurs

    Tu as le bon énoncé ?



  • oui c'est
    On impose, de plus, que les tangentes en A et en B aient pour coefficient directeur respectifs 1 et 0.


  • Modérateurs

    Si tu as maintenant compris la méthode , tu recommences les calculs avec f'(0)=1 et f'(4)=0

    Remarque : avec ton premier énoncé , tu auras dû obtenir ( si tu ne faisais pas de fautes de calculs ) a=0 et b=1/8
    La fonction aurait été de second degré et non du troisième...( anormal pour une "cubique"...)

    Bons nouveaux calculs .



  • ok merci beaucoup 😄


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