Monotonie et limite de suites

soit la suite Un définie pour tout entier naturel n par : Un = $3$ ^{n+1} $5^n$

a) la suite est-elle monotone ?
b) est-elle bornée ?

Soit la suite Un = 6 x $1/2)^n$ + 6n -6

a) Sn = U0 + U1 + ... + Un = n² - 5n + 4 - $3/2^n$ ) ?

Mes réponses :
1)
a) une suite est monotone si elle est strictement croissante ou strictement décroissante, mais je ne sais pas comment m'y prendre pour cette question, dois-je faire avec la relation de récurrence ?
b) j'ai montré que la suite est convergente, et si je démontre que ma suite est décroissante, je pourrai conclure que ma suite n'est pas bornée, puisque cela signifierait qu'elle est minorée et majorée ??

a) j'ai démontré que cette suite est la somme d'une suite géométrique et d'une suite arithmétique, mais lorsque j'applique les théorèmes d'addition pour les suites particulières, je ne trouve pas de résultat concret ...
je fais : Sn = Su'n + Su''n
= [(6x (1 - $1/2^{n+1}$ ))/ (1 - 1/2) ] + [ ((n+1) x (-6 + 6n -6)) / 2 ]

est-ce correct .?

Bonjour (A ne pas oublier !!)

quelle est la nature de la suite ?
que vaut U1 ? , vers quelle valeur tend Un ?

Un exercice par post.

c'est une suite géométrique, U1 vaut 9/5 , U(n) tend vers 0 lorsque N tend vers +∞

Oui,

Donc calcule $U_n$ - $U_{n-1}$

(-6 x $3^n$ ) / $5^n$ x 5)

Je me suis trompée, j'ai fait U(n+1) - Un

Utilise le fait que c'est une suite géométrique. et calcule $U$ _{n+1} $U_n$

Un - U(n+1) = (6 x 3n) / (5n x 5)

je peux dire que Un - U(n+1) > 0 puisque mon résultat est positif pour tout n appartenant a N, alors Un est décroissante

C'est correct.

Comment faire pour montrer que ma suite est bornée ? je peux dire que ma suite est convergente et décroissante, donc elle ne peut pas etre bornée (elle est seulement minorée, mais pas majorée) .?

Si n tend vers l'infini, $U_n$ tend vers ...

vers 0

Donc la suite varie de ...... à ....

de 3/5 a 0 .?

donc elle est majorée par 3/5 ?

par 3 je veux dire

Oui 3.