géométrie1

Ceci est un exercice du bac S de 2000 que je dois faire en devoir maison, auquel j’ai beaucoup de problème. Merci de me donner des pistes de réflexion.

On se propose d’étudier une modélisation d’une tour de contrôle de trafic aérien, chargée de surveiller deux routes aériennes représentées par deux droites de l’espace.
L’espace est rapporté à un repère orthonormal ( O ;i ;j ;k ) d’unité 1 km.
Le plan (O ;i ;j) représente le sol.

Les deux « routes aériennes » à contrôler sont représentées par deux droites d1 et d2, dont on connaît les représentations paramétriques :

d1 : x = 3 + a
y = 9 + 3a
z = 2

d2 : x = 0.5 + 2b
y = 4 + b
z = 4 - b

avec a et b appartenant à R

a) Indiquer les coordonnées d’un vecteur u1, directeur de la droite d1 et d’un vecteur u2 directeur de la droite d2.
b) Prouver que les droites d1 et d2 ne sont pas coplanaires.
On veut installer au sommet S de la tour de contrôle, de coordonnées S (3 ; 4 ; 0,1), un appareil de surveillance qui émet un rayon représenté par une droite notée d .
Soit P1 le plan contenant S et d1 et soit P2 le plan contant S et d2.
a) Montrer que d2 est sécante à P1.
b) Montrer que d1 est sécante à P2.
c) Un technicien affirme qu’il est possible de choisir la direction de d pour que cette droite coupe chacune des droite d1 et d2.
Cette affirmation est – elle vraie ?
Justifier la réponse.

Bonjour,
Voici quelques pistes :

Tu peux par exemple facilement trouver les coordonnées de 2 points de la droite (il suffit pour cela de remplacer a par un réel quelconque). Avec ces 2 points tu en fais un vecteur directeur.
2)a) d2 est sécante à P1 si un vecteur directeur de d2 n'est pas coplanaire avec 2 vecteurs directeurs de P1.
Comme vecteur directeur de d2, tu peux prendre ceux de la question précédente. Pour ceux de P1, tu as le point S et 2 points sur d1.
b) idem
c) C'est la droite d'intersection des 2 plans. Je te laisse trouver toi-même le bon théorème de géométrie dans l'espace qui justifie cela

C'est plus clair ?