Etude d'une fonction.1

Bonjour, j'aurai besoin d'aide pour deux exercices qui me semblent relativement simple mais je ne réussi pas vraiment à trouver des solutions..

Voilà l'exercice, je mettrai mes quelques pistes après l'exercice.

Exercice 1 :

A. Dans un repère orthonormé $\vec {i}; \vec {j})$ on considère le point A(0;2) et un cercle C de diamètre [OA].
P --> Point mobile de l'axe des abscisses.
K --> Point d'intersection du cercle C avec la droite (AP) et M a pour coordonnées $(x p; y k)$ .

On s'intéresse ici à la courbe décrite par M quand P décrit l'axe des abscisses.
(a). Ici, il faut refaire la figure présentée sur le poly avec GeoGebra et faire le tracé du point M lorsqu'on bouge le point P.. Je mettrai le tout a la fin de l'énoncé.
(b). Décrire cette courbe en appelant f la fonction représentée par cette courbe, préciser les limites, variation et les éléments de symétrie.

B. On suppose dans cette partie que P ≠ 0
(a). On appelle a le coefficient directeur de (AP).
Trouver une équation de (AP) en fonction de a et une équation de C.
(b). Exprimer les coordonnées de P, K puis M en fonction de a.
(c). En déduire que les coordonnées (x;y) de M vérifient :

$\frac{2x^2}{x^2+4}$

(d). Étudier la fonction $\frac{2x^2}{x^2+4}$ et retrouver toutes les conjectures de la première partie.
La courbe décrite par M s’appelle " La Sorcière d'Agnesi "

Mes pistes :

A.a ( Voir image en fin de post )
A.b)

$lim⁡x→+∞f=+∞\lim _{x \rightarrow {+} \infty}f = {+} \infty$
$lim⁡x→−∞f=−∞\lim _{x \rightarrow {-} \infty}f = {-} \infty$

Pour les variations, on voit que la courbe est décroissante puis croissante, mais je ne vois pas comment je peux faire pour construire le tableau vu qu'on ne connait pas la fonction f.

Et j'ai préciser qu'il y avait un axe de symétrie en x = 0

B.a) Ici, j'ai mis pour l'équation de (AP) = $2 x - a * y$
Par contre pour C, je n'ai pas trouvé.

Et donc je bloque ..

Voici la figure et la courbe obtenue avec le tracé de M.

Merci à l'avance pour l'aide.

Bonjour,

Pour les variation de la fonction, utilise la représentation graphique.

Pour la droite (AP) y = ax+b
Pour le cercle (x-xC)² + (y-yC)² = R²

Bonjour Noemi,

Ok, donc elle est décroissante puis croissante selon la représentation graphique.

Oui pour (AP), c'est logique en plus.. vu la droite que c'est.. je cherche vraiment trop compliqué^^

Mais pour le cercle, comment arrives tu à déduire cette équation?

Et pour les coordonnées, je ne vois pas comment faire non plus

Pour l'équation de la droite (forme réduite) et du cercle, j'ai juste donner la relation de base que tu dois connaitre. Il reste à remplacer les inconnues.

Pour les coordonnées, cela dépend de la position des points.
tu utilises l'équation de la droite ou du cercle.

Je stagne vraiment sur ce truc..
A(0;2)
Ici P est différent de 0 , donc j'ai pris P(4;0)

Le coef directeur c'est a.

Le fait qu'il ne faut pas calculer le coef directeur m'embrouille totalement.

Pour l'équation de la droite (AP)
y = ax+b
le point A(0;2) appartient à la droite donc ces coordonnées vérifient sont équation
soit
....
tu déduis la valeur de b.
y = ...

En A nous avons yA=2 et xA=0, donc 2=a+b
En B nous avons yP=0 et xP=4 donc 0=4a+b

a+b =2
4a+b=0

a+b=2
4a+b+a+b = 2

5a=2
a=2/5

b=2-0.4
b=1.6

En A nous avons yA=2 et xA=0, donc 2=ax0+b
soit b = ...
donc y = .....

P est un point mobile, donc on ne connait pas l'abscisse.

Pour l'équation du cercle, cherche les coordonnées du centre du cercle.

soit b = 2
donc y = ax + 2

Et donc pour l'équation du cercle, si je comprends bien
(x-a)² + (y-b)² = R²
Ici, le centre du cercle est le milieu de [OA], donc de coordonnées (0,1).
Et le rayon vaut 1, donc :
x² + (y-1)² = 1 est l'équation du cercle C. ??

C'est juste.

Bon j'ai eu quelques soucis pour me connecter cette semaine, mais j'ai trouver un moyen ^^

Donc j'ai pu chercher pour l'exo mais j'ai trouver des choses pour la d).. Que je posterai demain soir, car la connexion est pas géniale ici.

Sinon pour les coordonnées, j'ai toujours pas trouver, même avec des amis.

pour les coordonnées :
P(x ; 0)
K est le pont d'intersection de la droite avec le cercle donc résoudre le système avec les deux équations des courbes.

Ok, donc les coordonnées pour P sont P(x ; 0) vu que P est un point mobile
Et donc pour K j'ai fais ça avec ce que tu m'a dit..

y = ax +2
x² + (y-1)² = 1

Alors x² + [(ax+2)-1]² = 1
x² + (ax+1)² = 1
x² + ax² = 1
a = 1

Mais je trouve a ici.. donc c'est faux

C'est x que tu cherches.
Résous l'équation du second degré : x² + (ax+1)² = 1
(développe (ax+1)², c'est une identité remarquable)

Ok, donc
x² + (ax+1)² = 1
(ax+1)² = ax² + 2ax +1 ?

donc x² + ax² + 2ax + 1 = 1 ?
mais comment résoudre ceci?

Une erreur (ou il faut mettre des parenthèses :
(ax+1)² = a²x² + 2ax +1 ?

Simplifie l'équation, puis tu factorises.

Je ne vois pas pourquoi tu mets le carré au deux termes a et x

Logiquement (ax+1)² = a²+2ab+b²
alors ax serai = ax² ?

(u+v)² = u² + 2uv + v²
Pour (ax+1)²
u = ax et v = 1
u² = (ax)² = a²x²

Hum oui d'accord, sinon j'y repense pour le point P.. On peut calculer l'abscisse vu que le point appartient à (AP)
Ca ferai ça :

y = ax + 2 = 0
ax + 2 = 0
x = -2/a
??

On aurai donc P(-2/a;0) ?

Et pour le point K:
y = ax +2
x² + (y-1)² = 1

Alors x² + [(ax+2)-1]² = 1
x² + (ax+1)² = 1

(ax+1)² = (ax)² + 2ax +1
Donc x² + (ax)² + 2ax +1 = 1
x²+(ax)²+2ax + 1= 1
x²+a²x²+2ax + 1=1
x²(1+a²) + 2ax + 1= 1
??

Bien pour P.

x²(1+a²) + 2ax + 1= 1
équivalent à
x²(1+a²) + 2ax = 0
Mets x en facteur
et applique : un produit de facteurs .....

Bonne nuit

x [x(1+a²) + 2a] = 0 donc?

Si x(1+a²) + 2a = 0
x = -2a/(1+a²)

Donc, si je me trompe pas..
y = ax + 2
y = a [-2a/(1+a²)] + 2
= [-2a²/(1+a²)] + 2
= (-2a² + 2 + 2a²)/(1+a²)
= 2/(1+a²)

Soit K ( -2a/(1+a²) ; 2/(1+a²) )

Donc, vu que dans l'énoncé c'est écrit que M(xP;yK)
Alors M(-2/a ; 2/(1+a²) )

C'est correct.

J'essaierai demain la question c, et je posterai ce que j'ai fais dans la journée.
Bonne nuit.

Voilà ce que je viens de faire pour la question C..

x = -2/a , avec x différent de 0
y = 2/(1+a²)

On résolues ce système donc

a = -2/x
y = 2/(1+a)²

alors
y = 2/1+(-2/x)²
y = 2/1+4/x²
y= 2/(x²+4/x²)
y = 2x²/x²+4

a = -2/x
y = 2x²/x²+4

Donc, les coordonnées du point M sont liées par cette relation
Je sais pas si on a le droit de faire ce que j'ai fais par contre^^

Aussi, pour la dernière, j'ai trouvé pour les limites ainsi que les variations.. Mais je ne trouve pas comment prouver que x=0 est l'axe de symétrie de la courbe.

C'est correct,

Attention aux parenthèses