Resoudre une equation irrationnelle



  • Bonsoir, je viens demander de l'aide, car cela fait cinq jours que je cherche, mais en vain, mon dm étant pour demain, je bloque sur la fin de celui-ci et j’espère donc que vous me lancerez sur une piste. je vous ecris donc l'integralité de l'exercice sinon je pense que vous ne pourrez pas m'aider n'ayant pas le debut de l'exo, au passage si vous pouvez me dire si ce que j'ai fais est correcte.

    Le plan est rapporté a un repère orthonormé.
    Par un point M (d'abscisse positive) du demi-cercle de centre O, de rayon 1 et de diamètre [AB], on trace la parallèle (MN) à l'axe des abscisses. On note x l'abscisse de M(0≤x≤1) et on s’intéresse aux variations du périmètre p du trapèze isocèle AMNB en fonction de l'abscisse x du point M.

    1. Construire avec Geogebra.
      Créez le demi cercle de diametre [AB], et le point M. Créez la parallele à l'axe des abscisses passant par M puis le point N. Créez le périmetre p, somme des mesures des côtés affichées dans la fenetre algèbre.
      → Voila ce que j'ai fais, capture de ma construction sur geogebra

    2. Conjecturer.
      Déplacez le point M sur le demi-cercle (l'abscisse x de M restant positive). Pour quelle(s) valeur(s) de x le périmetre semble t'il maximum. Quelle est alors sa valeur?
      → Le périmetre est au maximum quand l'abscisse de x=0,5.
      La valeur du périmetre est alors de 5.

    3. Dans cette partie, on envisage de résoudre algébriquement le problème suivant :
      Pour quelles valeurs de x le périmetre est il égal a 5 ?
      → Le périmetre est égale a 5 quand x=0,5.

    a) Démontrez que le point M a pour ordonnée √1-x².
    → Dans le triangle OMX, x=0,5 et XM=ordonnée, ainsi l'ordonnée de M=√1-x
    OM²=OX²+XM²
    XM²=OM²-OX²
    XM=√OM²-OX²
    XM=√1-x

    Déduisez en que :
    AM=√2(1-x) et que P(x)=2+2x+2√(1-x)
    → AM=√2(1-x) ?
    √2(1-0,5)= 1 or sur la figure, AM≈1,7 donc AM≠√2(1-x)
    →P(x)=2+2x+2√(1-x) ?
    P(0,5)=2+2*0,5+2√(1-0,5)=2+1+1,4=4,4 or sur la figure P=5.
    Donc P(x)≠2+2x+2√(1-x)

    Verifiez que répondre a la question posée revient à resoudre dans [0;1] l'équation E : √2(1-x)=(3/2)-x.
    → 0ui repondre a la question posée revient à resoudre dans [0;1] l'équation E car dans E quand x∈[0;1] l'équation est correcte.

    b) Cette equation est dite irrationnelle parce qu'il y figure un radical que l'on ne peut pas simplifier.
    L'équation (E), de la forme √a=b, n'a de sens que si a et b sont positifs. Vérifiez que pour x∈[0;1], les conditions sont respectées.
    → Quand x∈[0;1], a>0 et b>0, les conditions sont donc respéctées, l'équation (E) a donc un sens pour x∈[0;1]

    Expliquez pourquoi ces conditions etant remplies, resoudre l'équation (E) revient a resoudre l'équation (E') : 2(1-x)=((3/2)-x)².
    → Ces conditions étant remplies, resoudre (E) revient a resoudre (E') car l'équation a un sens quand x∈[0;1]
    Exemple : Si x=0,45
    → 2(1-0,45)=1,1 et ((3/2)-0,45)²=1,1 ; équation correcte.
    Si x=1,2
    → 2(1-1,2)=(-0,4) et ((3/2)-1,2)²=0,09 ; équation incorrecte

    c) Résolvez l'équation (E') puis répondez a la question posée au debut de cette partie 3.
    → .... ? c'est ici que je bloque.

    Merci de vérifier mes reponses et de m'aider pour la derniere question



  • http://s3.noelshack.com/upload/18497420292978_capture.jpg
    Lien de la capture car sur celle que j'ai mise dans mon probleme n'est pas tres lisible


  • Modérateurs

    Bonsoir,

    1. Les résultats de la question 2 ne doivent pas être utilisés.
      Tu exprimes XM par rapport au triangle XOM
      OM²=OX²+XM²
      XM²=OM²-OX²
      XM=√OM²-OX²
      XM=√(1-x²)

    Pour AM, même raisonnement mais avec le triangle AMX.

    Pour le b, les inégalités sont à vérifier.
    Pour écrire l'expression sans radical il faut indiquer une propriété des inégalités
    La résolution de l'inéquation passe par l'écriture A(x) = 0
    résolution d'une équation du second degré.



  • j'ai suivi vos conseils et voila ce que j'ai trouver :

      • a) dans le triangle XOM :
        OM²=OX²+XM²
        XM²=OM²-OX²
        XM=√OM²-OX²
        XM=√(1-x²)

    M a donc bien pour ordonnée √(1-x²).

    • Pour AM=√2(1-x).
      AM²=AX²+XM²
      AM²=1,5²+√(1-0,5²)²
      AM=√1,5+(1-0,5)
      AM=√1,5+0,5
      AM=√2

    et pour le c) sur lequel je bloqué :

    c) Résolvez l'équation (E') puis répondez a la question posée au debut de cette partie 3.
    2-2x = (3/2)² - 23/2x + x²
    2-2x = 9/4 - 3x + x²
    2-2x - 9/4 -3x + x² = 0
    -x² + x - 9/4 + 8/4 = 0
    x² - x + 1/4 = 0
    x-1/2 = 0
    x=1/2
    Le périmetre est de 5 quand x=1/2

    est-ce correct ?


  • Modérateurs

    AX n'est pas égal à 1,5 mais 1+x

    Il, manque la partie b)

    x² - x + 1/4 = 0
    équivalent à (x-1/2)² = 0
    x-1/2 = 0
    Tu trouves x = 1/2 que tu remplaces dans l'expression du périmètre pour trouver sa valeur.



  • merci beaucoup de l'aide que vous m'avez apporté!!



  • bonjour, j'ai le même DM à rendre pour demain, et je n'ai pas compris la question B...


  • Modérateurs

    Bonjour luninha,

    Pour la question 3 b), suis les indications de l'énoncé.

    Indique tes éléments de réponse.


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