étude de fonction exponnentielle

Bonsoir,
J'ai un autre exercice de maths à faire qui porte sur une étude de fonction exponentielle. Le problème c'est que je ne comprend pas grand chose aux exponentielles. Pouvez vous m'aider à démarrer (car il y a certaines choses que je sais faire mais pas les limites) ? S'il vous plaît.

Soit la fonction définie sur ℜ par : $f(x)=(x-e)e^{-x}$ +1-x
On note (C) sa courbe représentative dans un repère (O;i;j) du plan.

a) Déterminer la limite de f en + ∞, puis en -∞.

b) Calculer f'(x) et montrer que, pour tout réel x, f'(x) peut s'écrire : f' $x)=e^{-x}$ h(x) où h est une fonction que l'on précisera.

c) 1. Etudier suivant les valeurs de x le signe de $e-e^x$
2. En déduire que:
-si x > 1, alors 1-x + $e-e^x$ < 0
-si x < 1, alors 1-x + $e-e^x$ > 0
3. Établir le tableau de variation de f et en déduire que f(x) est toujours négatif.

d) Montrer que la droite (D) d'équation y=-x+1 est asymptote à la courbe (C).
Etudier la position relative de (C) et de (D).
Démontrer, qu'il existe un unique point A de (C), dont on calculera les coordonnées, tel que la tangente en A à (C) soit parallèle à la droite (D).
Vous calculerez la distance du point A à la droite (D).

Merci par avance !

Bonsoir,

Indique tes éléments de réponse et la question qui te pose problème.
quelle est la limite de $x/e^x$ quand x tend vers +∞ ?

a) Sa limite vaut +∞ car limite de $1/e^x$ vaut 0 ?

b) f'(x) = $e^{-x}$ (1+e-x)-1 = $e$ ^{-x} $1+e-x-e^x$ ) donc f' $x)=e^{-x}$ h(x) avec $h(x)=1+e-x-e^x$

c) je ne sais pas comment faire.

Non, la limite est 0.

c) Etudie les cas, x = 1, x > 1 et x < 1.

a) je ne comprend pas.

b) est ce juste ?

c)pourquoi on prend 1 pour valeur de x ?

est ce que mon raisonnement est juste ?

f(x)= $x-e)e^{-x}$ +1-x = $(x - e) e$ ^{-x} $+ [(1 - x) e$ ^{-x} $e^{-x}$ ] = $e$ ^{-x} $[x - e + (1 / e$ ^{-x} $x/e^{-x}$ )]

En + ∞:
lim $e^{-x}$ = - ∞ ; lim x-e = 0 ; lim $1/e^{-x}$ = -∞ ;
lim $x/e^{-x}$ = 0 => lim f(x) = + ∞

En - ∞:
lim $e^{-x}$ = + ∞ ; lim x-e = 0 ; lim $1/e^{-x}$ = +∞ ;
lim $x/e^{-x}$ = 0 => lim f(x) = + ∞

?

Bonjour,

Non, ça ne va pas.
Tu fais des erreurs de raisonnement.
Lorsque x tend vers +∞ , (x-e) ne peut pas tendre vers 0 , il tend vers +∞
Lorsque x tend vers -∞ , (x-e) ne peut pas tendre vers 0 , il tend vers -∞

Il y a des indéterminations à lever , donc il faut donner à f(x) des écritures adaptées.

Lorsque x tend vers +∞, écris ta fonction sous cette forme :

$\text{f(x)=\frac{x}{e^x}-\frac{e}{e^x}+1-x$

Cherche la limite

Lorsque x tend vers -∞ , écris ta fonction sous cette forme :

$\text{f(x)=x(e^{-x}-1)-e.e^{-x}+1$

Cherche la limite

Donc quand x tend vers +∞
lim $x/e^x$ =0
lim $e/e^x$ =je ne sais pas
lim 1-x=-∞

Quand x tend vers -∞
lim x=-∞
lim $e^{-x}$ =je ne sais pas
lim $ee^{-x}$ +1= 1 mais je ne suis pas sur

Réalise bien que e est une constante qui vaut environ 2.71

Quand x tend vers +∞ , tu sais que $e^x$ tend vers +∞ donc $e/e^x$ tend vers 0

Quand x tend vers -∞ , -x tend vers +∞ donc $e^{-x}$ tend vers +∞ donc
$ee^{-x}$ +1 tend vers ............

Je reprend,
Quand x tend vers +∞
lim $x/e^x$ =0
lim $e/e^x$ =0
lim 1-x=-∞
lim f(x)= -∞

Quand x tend vers -∞
lim x=-∞
lim $e^{-x}$ =+∞
lim $ee^{-x}$ +1= -∞
lim f(x)=-∞

OK

C'est BON ! ! !

pour la c) j'ai fait ça, est ce juste ?

La fonction exponentielle est strictement croissante sur ℜ

De plus e - $e^{x }$ s'annule pour x = 1 et est positif pour x = 0

e - $e^x$ est donc positif pour x < 1 et négatif pour x > 1

Pour x > 1 on a 1 - x < 0

Comme e - $e^x$ est négatif pour x > 1 alors on a bien 1 - x + e - $e^x$ < 0 pour x > 1

Pour x < 1 on a 1 - x > 0

Comme e - $e^x$ est positif pour x < 1 alors on a bien 1 - x + e - $e^x$ > 0 pour x < 1

le signe de la fonction f est celui de 1 - x + e - $e^x$ donc la courbe est croissante en ]-∞;1] et décroissante en [1;+∞] ?

Pour la c) je n'ai pas besoin de justifier plus pour les variation de f ?
par contre, je ne sais pas pourquoi on peut en déduire que f(x) est toujours négatif ?

Si tu as fait le b) comme demandé , tu as dû trouver que :

f' $(x) = e$ ^{-x} $x+e+1-e^x$ )

Donc $h(x)=-x+e+1-e^x$

Au c) , tu as étudié le signe de h(x) , qui te donne le signe de f'(x) vu que $e^{x }$ > 0, pour tout x

Pour la conséquence , réfléchis au maximum de f(x)

Je suis d'accord que ex > 0, pour tout x mais là on a $e^{-x}$ . C'est la même chose ?

Ca ne change rien .

Pour tout a réel , $e^a$ > 0 ( a peut se noter x ou -x , à condition que x soit réel )

Pour dire que f(x) est toujours négatif, je peux mettre :

f admet un maximum pour x=1 et $f(1)=(1-e)e^{-1}$ < 0.
Le maximum étant strictement négatif, f est strictement négative sur R.

Pour dire que f(x) est toujours négatif, je peux mettre :

f admet un maximum pour x=1 et f(1)=(1-e)e-1 < 0.
Le maximum étant strictement négatif, f est strictement négative sur R.

Oui

Pour la d) j'ai fais :
$f (x) - (- x + 1) = (x - e) e$ _{-x} $= (x / e$ ^x $e/e^x$ )
Donc lim en +∞
Lim $x/e^x$ =0
lim $-e/e^{x lim f(x)-(-x+1)=-∞ Lim en -∞ Lim x/ex=0 lim -e/ex=0 lim (-x+1)=+∞ => lim f(x)-(-x+1)=+∞ Donc la droite d'équation y=-x+1 est asymptote à la courbe. ? }$

Pour les positions relatives :
$f(x)-(-x+1)=(x-e)e^{-x}$
signe de $e^{-x}$ : positif
signe de x-e : je ne sais pas

Je ne vois pas non plus comment faire pour démontrer, qu'il existe un unique point A de (C), dont on calculera les coordonnées, tel que la tangente en A à (C) soit parallèle à la droite (D). Puis calculer la distance du point A à la droite (D).

Bonsoir Blarg

Etudie les cas
x > e
et
x < e

Pour les coordonnées du point A, il faut résoudre f'(x) = -1.

C'est à dire que je dois faire x>e si x-e>0 et x<e si x-e<0 ?

Ce que j'ai fait pour le début de la question est juste ?

Le début est juste.
Pour étudier le signe de : $f(x)-(-x+1)=(x-e)e^{-x}$

étudie le signe de x - e.

Je ne vois pas comment étudier son signe.

Pourquoi faut il résoudre f'(x)=-1 pour savoir les coordonnées de A ? Cette équation veut forcément dire qu'apres la tangente en A à (C) soit parallèle à la droite (D) ?

Si x >e, f(x) > -x+1, donc la fonction ....
Si x < e, ....

Si la tangente en A est parallèle à la droite D, c'est que le coefficient directeur des deux droites sont égaux.

Bonne nuit

Si x >e, f(x) > -x+1, donc la fonction est au dessus de (D) ?
Si x < e,f(x) < -x+1, donc la fonction est en dessous de (D) ?

Si x >e, f(x) > -x+1, donc la fonction est au dessus de (D) ?
Si x < e,f(x) < -x+1, donc la fonction est en dessous de (D) ?

Est ce juste ? Si oui, pouvez vous m'expliquer pourquoi, car je ne comprend pas.

Pour la suite j'ai fais :

Si la tangente en A est parallèle à la droite (D), alors le coefficient directeurs des deux droites est égaux.
f'(x)=-1 donc x=1+e
$f(1+e)=e^{-1-e}$ -e

A(1+e; $e^{-1-e}$ -e)

Je ne sais pas comment faire pour calculer la distance du point A à la droite (D)

C'est correct.

Quelle est la relation pour le calcul de la distance d'un point à une droite ?

Pour la distance du point A à la droite (D) j'ai trouvé la formule
A(1+e; $e^{-1-e}$ -e)
(D): -x-y+1=0

distance (A;(D))= $1-e-e^{-1-e}$ +e+1)/√ $2=-e^{-1-e}$ /√2

?

Une distance négative ?

je n'avais pas fais attention, je me suis trompé dans mon calcul ?

Le numérateur est une valeur absolue.

D'accord, donc
distance (A;(D))= |(-1-e-e-1-e+e+1)|/√ $2=e^{-1-e}$ /√2 ?

C'est correct.