étude de fonction exponnentielle



  • Bonsoir,
    J'ai un autre exercice de maths à faire qui porte sur une étude de fonction exponentielle. Le problème c'est que je ne comprend pas grand chose aux exponentielles. Pouvez vous m'aider à démarrer (car il y a certaines choses que je sais faire mais pas les limites) ? S'il vous plaît.

    Soit la fonction définie sur ℜ par : f(x)=(xe)exf(x)=(x-e)e^{-x}+1-x
    On note (C) sa courbe représentative dans un repère (O;i;j) du plan.

    a) Déterminer la limite de f en + ∞, puis en -∞.

    b) Calculer f'(x) et montrer que, pour tout réel x, f'(x) peut s'écrire : f'(x)=ex(x)=e^{-x}h(x) où h est une fonction que l'on précisera.

    c) 1. Etudier suivant les valeurs de x le signe de eexe-e^x

    1. En déduire que:
      -si x > 1, alors 1-x + eexe-e^x < 0
      -si x < 1, alors 1-x + eexe-e^x > 0
    2. Établir le tableau de variation de f et en déduire que f(x) est toujours négatif.

    d) Montrer que la droite (D) d'équation y=-x+1 est asymptote à la courbe (C).
    Etudier la position relative de (C) et de (D).
    Démontrer, qu'il existe un unique point A de (C), dont on calculera les coordonnées, tel que la tangente en A à (C) soit parallèle à la droite (D).
    Vous calculerez la distance du point A à la droite (D).

    Merci par avance !


  • Modérateurs

    Bonsoir,

    Indique tes éléments de réponse et la question qui te pose problème.
    quelle est la limite de x/exx/e^x quand x tend vers +∞ ?



  • a) Sa limite vaut +∞ car limite de 1/ex1/e^x vaut 0 ?

    b) f'(x) = exe^{-x}(1+e-x)-1 = ee^{-x}(1+exex(1+e-x-e^x) donc f'(x)=ex(x)=e^{-x}h(x) avec h(x)=1+exexh(x)=1+e-x-e^x

    c) je ne sais pas comment faire.


  • Modérateurs

    Non, la limite est 0.

    c) Etudie les cas, x = 1, x > 1 et x < 1.



  • a) je ne comprend pas.

    b) est ce juste ?

    c)pourquoi on prend 1 pour valeur de x ?



  • est ce que mon raisonnement est juste ?

    f(x)= (xe)ex(x-e)e^{-x}+1-x = (xe)e(x-e)e^{-x}+[(1x)e+[(1-x)e^{-x}/ex/e^{-x}] = ee^{-x}[xe+(1/e[x-e+(1/e^{-x})(x/ex)-(x/e^{-x})]

    En + ∞:
    lim exe^{-x} = - ∞ ; lim x-e = 0 ; lim 1/ex1/e^{-x} = -∞ ;
    lim x/ex-x/e^{-x} = 0 => lim f(x) = + ∞

    En - ∞:
    lim exe^{-x} = + ∞ ; lim x-e = 0 ; lim 1/ex1/e^{-x} = +∞ ;
    lim x/ex-x/e^{-x} = 0 => lim f(x) = + ∞

    ?


  • Modérateurs

    Bonjour,

    Non, ça ne va pas.
    Tu fais des erreurs de raisonnement.
    Lorsque x tend vers +∞ , (x-e) ne peut pas tendre vers 0 , il tend vers +∞
    Lorsque x tend vers -∞ , (x-e) ne peut pas tendre vers 0 , il tend vers -∞

    Il y a des indéterminations à lever , donc il faut donner à f(x) des écritures adaptées.

    Lorsque x tend vers +∞, écris ta fonction sous cette forme :

    $\text{f(x)=\frac{x}{e^x}-\frac{e}{e^x}+1-x$

    Cherche la limite

    Lorsque x tend vers -∞ , écris ta fonction sous cette forme :

    $\text{f(x)=x(e^{-x}-1)-e.e^{-x}+1$

    Cherche la limite



  • Donc quand x tend vers +∞
    lim x/exx/e^x=0
    lim e/ex-e/e^x=je ne sais pas
    lim 1-x=-∞

    Quand x tend vers -∞
    lim x=-∞
    lim exe^{-x}=je ne sais pas
    lim eex-ee^{-x}+1= 1 mais je ne suis pas sur


  • Modérateurs

    Réalise bien que e est une constante qui vaut environ 2.71

    Quand x tend vers +∞ , tu sais que exe^x tend vers +∞ donc e/ex-e/e^x tend vers 0

    Quand x tend vers -∞ , -x tend vers +∞ donc exe^{-x} tend vers +∞ donc
    eex-ee^{-x}+1 tend vers ............



  • Je reprend,
    Quand x tend vers +∞
    lim x/exx/e^x=0
    lim e/ex-e/e^x=0
    lim 1-x=-∞
    lim f(x)= -∞

    Quand x tend vers -∞
    lim x=-∞
    lim exe^{-x}=+∞
    lim eex-ee^{-x}+1= -∞
    lim f(x)=-∞


  • Modérateurs

    OK

    C'est BON ! ! !



  • pour la c) j'ai fait ça, est ce juste ?

    La fonction exponentielle est strictement croissante sur ℜ

    De plus e - exe^{x } s'annule pour x = 1 et est positif pour x = 0

    e - exe^x est donc positif pour x < 1 et négatif pour x > 1

    Pour x > 1 on a 1 - x < 0

    Comme e - exe^x est négatif pour x > 1 alors on a bien 1 - x + e - exe^x < 0 pour x > 1

    Pour x < 1 on a 1 - x > 0

    Comme e - exe^x est positif pour x < 1 alors on a bien 1 - x + e - exe^x > 0 pour x < 1

    le signe de la fonction f est celui de 1 - x + e - exe^x donc la courbe est croissante en ]-∞;1] et décroissante en [1;+∞] ?



  • Pour la c) je n'ai pas besoin de justifier plus pour les variation de f ?
    par contre, je ne sais pas pourquoi on peut en déduire que f(x) est toujours négatif ?


  • Modérateurs

    Si tu as fait le b) comme demandé , tu as dû trouver que :

    f'(x)=e(x)=e^{-x}(x+e+1ex(-x+e+1-e^x)

    Donc h(x)=x+e+1exh(x)=-x+e+1-e^x

    Au c) , tu as étudié le signe de h(x) , qui te donne le signe de f'(x) vu que exe^{x }> 0, pour tout x

    Pour la conséquence , réfléchis au maximum de f(x)



  • Je suis d'accord que ex > 0, pour tout x mais là on a exe^{-x}. C'est la même chose ?


  • Modérateurs

    Ca ne change rien .

    Pour tout a réel , eae^a > 0 ( a peut se noter x ou -x , à condition que x soit réel )



  • Pour dire que f(x) est toujours négatif, je peux mettre :

    f admet un maximum pour x=1 et f(1)=(1e)e1f(1)=(1-e)e^{-1} < 0.
    Le maximum étant strictement négatif, f est strictement négative sur R.



  • Pour dire que f(x) est toujours négatif, je peux mettre :

    f admet un maximum pour x=1 et f(1)=(1-e)e-1 < 0.
    Le maximum étant strictement négatif, f est strictement négative sur R.


  • Modérateurs

    Oui



  • Pour la d) j'ai fais :
    f(x)(x+1)=(xe)ef(x)-(-x+1)=(x-e)e_{-x}=(x/e=(x/e^x)(e/ex)-(e/e^x)
    Donc lim en +∞
    Lim x/exx/e^x=0
    lim $-e/e^{x lim f(x)-(-x+1)=-∞ Lim en -∞ Lim x/ex=0 lim -e/ex=0 lim (-x+1)=+∞ => lim f(x)-(-x+1)=+∞ Donc la droite d'équation y=-x+1 est asymptote à la courbe. ? }$



  • Pour les positions relatives :
    f(x)(x+1)=(xe)exf(x)-(-x+1)=(x-e)e^{-x}
    signe de exe^{-x} : positif
    signe de x-e : je ne sais pas

    Je ne vois pas non plus comment faire pour démontrer, qu'il existe un unique point A de (C), dont on calculera les coordonnées, tel que la tangente en A à (C) soit parallèle à la droite (D). Puis calculer la distance du point A à la droite (D).


  • Modérateurs

    Bonsoir Blarg

    Etudie les cas
    x > e
    et
    x < e


  • Modérateurs

    Pour les coordonnées du point A, il faut résoudre f'(x) = -1.



  • C'est à dire que je dois faire x>e si x-e>0 et x<e si x-e<0 ?

    Ce que j'ai fait pour le début de la question est juste ?


  • Modérateurs

    Le début est juste.
    Pour étudier le signe de : f(x)(x+1)=(xe)exf(x)-(-x+1)=(x-e)e^{-x}

    étudie le signe de x - e.



  • Je ne vois pas comment étudier son signe.

    Pourquoi faut il résoudre f'(x)=-1 pour savoir les coordonnées de A ? Cette équation veut forcément dire qu'apres la tangente en A à (C) soit parallèle à la droite (D) ?


  • Modérateurs

    Si x >e, f(x) > -x+1, donc la fonction ....
    Si x < e, ....

    Si la tangente en A est parallèle à la droite D, c'est que le coefficient directeur des deux droites sont égaux.

    Bonne nuit



  • Si x >e, f(x) > -x+1, donc la fonction est au dessus de (D) ?
    Si x < e,f(x) < -x+1, donc la fonction est en dessous de (D) ?



  • Si x >e, f(x) > -x+1, donc la fonction est au dessus de (D) ?
    Si x < e,f(x) < -x+1, donc la fonction est en dessous de (D) ?

    Est ce juste ? Si oui, pouvez vous m'expliquer pourquoi, car je ne comprend pas.



  • Pour la suite j'ai fais :

    Si la tangente en A est parallèle à la droite (D), alors le coefficient directeurs des deux droites est égaux.
    f'(x)=-1 donc x=1+e
    f(1+e)=e1ef(1+e)=e^{-1-e}-e

    A(1+e;e1ee^{-1-e}-e)

    Je ne sais pas comment faire pour calculer la distance du point A à la droite (D)


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