Démonstration d'une propriété par récurrence

Bonsoir,
Je dois démontrer que 1x2x3+2x3x4+3x4x5+...n(n+1)(n+2)=[n(n+1)(n+2)(n+3)]/4

Je sais qu'il y a deux étapes à faire dans la démonstration, l'initialisation et l'hérédité.
Pour le moment j'ai fais l'initialisation : [1(1+1)(1+2)(1+3)]/4=(1x2x3x4)/4=1x2x3 l'égalité est vraie au rang initial.

J'ai commencé l'hérédité mais je ne suis pas sur que ça soit cela. Pouvez vous m'aider s'il vous plaît ?

hérédité : On pose p(n)= [n(n+1)(n+2)(n+3)]/4
On suppose que 1x2x3+2x3x4+3x4x5+...n(n+1)(n+2) = p(n)
Alors on a p(n)+(n+1)(n+2)(n+3) qui doit être égale à p(n+1) ?

Merci par avance.

Bonsoir,

C'est correct,
factorise p(n)+(n+1)(n+2)(n+3) après avoir remplacé p(n) par son expression en fonction de n.

J'ai trouvé (3n²+16n+24)/4
et pour p(n+1)= (3n²+12n+9)/4
Donc l'hérédité est fausse ?

Bonjour,

Tes réponses ne sont pas possibles car p(n) et p(n+1) sont des polynomes du 4eme degré , non du second...

Je te détaille un peu l'hérédité:

Tu dois DEMONTRER que $\text\fbox{{p(n+1)=1.2.3+...+(n+1)(n+2)(n+3)=\frac{(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)}{4}}$ , c'est à dire que :
$\text{p(n+1)=p(n)+(n+1)(n+2)(n+3)=\frac{n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)}{4}$

Pour cela , tu remplaces p(n) par l'hypothèse de la récurrence $\text{\frac{n(n+1)(n+2)(n+3)}{4}$

donc :

$\text{p(n+1)=p(n)+(n+1)(n+2)(n+3)=\frac{n(n+1)(n+2)(n+3)}{4}+(n+1)(n+2)(n+3)$

Tu termines ( en factorisant par (n+1)(n+2)(n+3) )