Démonstration d'une propriété par récurrence


  • T

    Bonsoir,
    Je dois démontrer que 1x2x3+2x3x4+3x4x5+...n(n+1)(n+2)=[n(n+1)(n+2)(n+3)]/4

    Je sais qu'il y a deux étapes à faire dans la démonstration, l'initialisation et l'hérédité.
    Pour le moment j'ai fais l'initialisation : [1(1+1)(1+2)(1+3)]/4=(1x2x3x4)/4=1x2x3 l'égalité est vraie au rang initial.

    J'ai commencé l'hérédité mais je ne suis pas sur que ça soit cela. Pouvez vous m'aider s'il vous plaît ?

    hérédité : On pose p(n)= [n(n+1)(n+2)(n+3)]/4
    On suppose que 1x2x3+2x3x4+3x4x5+...n(n+1)(n+2) = p(n)
    Alors on a p(n)+(n+1)(n+2)(n+3) qui doit être égale à p(n+1) ?

    Merci par avance.


  • N
    Modérateurs

    Bonsoir,

    C'est correct,
    factorise p(n)+(n+1)(n+2)(n+3) après avoir remplacé p(n) par son expression en fonction de n.


  • T

    J'ai trouvé (3n²+16n+24)/4
    et pour p(n+1)= (3n²+12n+9)/4
    Donc l'hérédité est fausse ?


  • mtschoon

    Bonjour,

    Tes réponses ne sont pas possibles car p(n) et p(n+1) sont des polynomes du 4eme degré , non du second...

    Je te détaille un peu l'hérédité:

    Tu dois DEMONTRER que $\text\fbox{{p(n+1)=1.2.3+...+(n+1)(n+2)(n+3)=\frac{(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)}{4}}$ , c'est à dire que :
    $\text{p(n+1)=p(n)+(n+1)(n+2)(n+3)=\frac{n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)}{4}$

    Pour cela , tu remplaces p(n) par l'hypothèse de la récurrence $\text{\frac{n(n+1)(n+2)(n+3)}{4}$

    donc :

    $\text{p(n+1)=p(n)+(n+1)(n+2)(n+3)=\frac{n(n+1)(n+2)(n+3)}{4}+(n+1)(n+2)(n+3)$

    Tu termines ( en factorisant par (n+1)(n+2)(n+3) )


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