4. Géométrie Plane - DM de Maths 1ere S

Géométrie Plane - DM de Maths 1ere S

  • M

    Bonjour, j'ai commencé mon DM de maths mais je me suis trouvé bloqué à une question:

    Énoncé:

    ABCD est un carré de côté 1, on construit deux cercles C1 et C2 entièrement inclus dans le carré, tels que,

    1. E et G sont les centres respectifs des deux cercles C1 et C2, ils sont sur la diagonale AC.
    2. Les cercles sont tangents extérieurement en I.
    3. (AB) et (AD) sont tangentes à C1.
    4. (CB) et (CD) sont tangentes à C2.
      On cherche à conjecturer les positions des points E et G sur AC pour lesquelles on obtient des valeurs maximales et minimales de l'aire A. On s'efforcera ensuite de démontrer cette conjecture.

    Question:

    On appelle r1 et r2 les rayons des deux cercles C1 et C2.
    a/ Montrer que: r1×√2 + r1 + r2 + r2×√2 = √2. Puis en déduire une valeur exacte de: r1 + r2.

    Merci d'avance!
    PS: Mon DM est à rendre vendredi.

    A 1 réponse
  • A

    Bonjour

    Il faut s'interesser à la diagonale de longueur ... √2

    r1×√2 +r1 + r2+ r2×√2 = √2

    Avec une figure on visualise mieux cette relation

    On voit aussi que la diagonale fait un angle de 45° ou Pi/4
    avec l'horizontale et la verticale
    ce qui devrait aider à trouver le pourquoi de r1×√2 et r2×√2 ...

    B 1 réponse
  • B

    1 - AC est la diagonale du carré de longueur 1, on en déduit, AC= √2

    2 - E et G appartenant à la diagonale AC, on a : AC = AE +EI + IG + GC = √2

    3- EI a pour longueur r1 car E est le centre du cercle C1 et I appartient au cercle C1, de la même manière pour IG = r2.

    4 - La difficulté est de montrer que AE = r1√2 et GC = r2√2.

    5 - Appelons E1 le point qui coupe (AB) passant par E et E2 le point qui coupe (AD) passant par E. Comme on sait que le cercle C1 est tangent a (AB) et (AD), on en déduit que (AE1) et (AE2) sont perpendiculaires à (EE1) et (EE2). Le quadrilatère AE1EE2 est donc un rectangle car il possède trois angle droit.

    6 - De plus ce quadrilatère a deux coté adjacents (car il passent tous deux par E) de même longueur r1, EE1 et EE2.

    7 - On en déduit que AE est la diagonale du carré AE1EE2 de coté r1, d'ou AE = r1√2

    8 - De la même manière GC= r2√2.

    9 - On a finalement r1 √2 + r1 + r2 + r2 √2 = √2

    Pour plus d'informations ou des cours vous pouvez me contacter par mail.

    Merci.

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