Démontrer par l'absurde (fonction)

Bonjour ,j'aurai besoin d'un peu d'aide pour un des exercices de mon dm.

Voici l'énoncé :
f est une fonction croissante sur [ 0 ;+inf [ et lim f(x) = 2 quand x tend vers +inf.
Démontrer que pour tout x≥ 0, f(x)≤ 2.

Mon professeur m'a donné quelques indications :
Raisonner par l'absurde de cette façon, supposer qu'il existe un réel a ≥ 0 tel que f(a) > 2.
Utiliser la définition d'une fonction croissante pour en déduire une conséquence.
Justifier qu'il existe un réel epsilon > 0 tel que f(a)>2+ε.
Prouver alors que, pour tout réel x≥ a, f(x)>2+ε.
Établir une contradiction avec une hypothèse de l'énoncé.

Ce que j'ai fait :

Quelques schéma pour essayer de voir essayer de comprendre cette démarche, malheureusement, je ne vois pas comment je peux supposer qu'il existe un réel a ≥ 0 tel que f(a) > 2 parce que la limite de cette fonction est 2.
Comment justifier qu'il existe un réel ε > 0 tel que f(a) > 2 +ε? Et comment prouver que pour tout réel x ≥ a , f(x) > 2+ε ?

Je m'excuse d'en demandé autant de votre part, et je vous remercie de m'aider pour cette exercice.
Robert.

Bonjour,

Suis les indications donné par ton professeur.
Suppose l'existence du réel a,
donne la définition de fonction croissante
....

Bonjour Noemi, merci de m'avoir répondu.

Le problème, c'est que je ne comprends pas comment le réel "a" peux exister alors que f(a) > 2. La limite de la fonction est 2 en + inf, c'est impossible non ?

Sinon voici la définition d'une fonction croissante :
f est croissante dans I si et seulement si pour tout réel a et tout réel b de I, si a<b, alors f(a) < f(b).

Je te remercie encore de m'avoir répondu

C'est cette impossibilité qu'il faut que tu démontres.
Tu supposes que ce a existe et tu établis la contradiction.

Bonsoir
voilà ce que j'ai fait, peux tu me dire si c'est exact ?

Soit a un réel ≥ 0 tel que f(a) > 2
Définition d'une fonction croissante : Soient a et b deux réels b > a alors f(b > f(a).
Soit ε réel tel que ε > 0.
On sait que f(a) > 2 et on peut déduire que 2 + ε > 2 car ε > 0
d'où f(a) > 2 +ε car f(a) - ε>2 . or pour tout x > ou = a on a f(x) > ou = f(a) par définition d'une fonction croissante.

On a donc f(x) > ou = f(a) > 2 + Epsilon > 2. d'où f(x) > 2 + Epsilon.

On a f(x) > 2 grâce à l'encadrement précédent, d'où une contradiction avec l'énoncé indiquant la limite fini 2 quand x tend vers + inf .
S'il existait ce réel a tel que f(a) > 2 avec x > ou = a , la limite fourni par l'énoncé serait absurde.

On peut conclure que pour tout x > ou = 0, f(x) < ou = 2. f étant majorée par y= 2 ( asymptote horizontale )

Est ce que c'est exacte ?