Démontrer par l'absurde (fonction)



  • Bonjour ,j'aurai besoin d'un peu d'aide pour un des exercices de mon dm.

    Voici l'énoncé :
    f est une fonction croissante sur [ 0 ;+inf [ et lim f(x) = 2 quand x tend vers +inf.
    Démontrer que pour tout x≥ 0, f(x)≤ 2.

    Mon professeur m'a donné quelques indications :
    Raisonner par l'absurde de cette façon, supposer qu'il existe un réel a ≥ 0 tel que f(a) > 2.
    Utiliser la définition d'une fonction croissante pour en déduire une conséquence.
    Justifier qu'il existe un réel epsilon > 0 tel que f(a)>2+ε.
    Prouver alors que, pour tout réel x≥ a, f(x)>2+ε.
    Établir une contradiction avec une hypothèse de l'énoncé.

    Ce que j'ai fait :

    Quelques schéma pour essayer de voir essayer de comprendre cette démarche, malheureusement, je ne vois pas comment je peux supposer qu'il existe un réel a ≥ 0 tel que f(a) > 2 parce que la limite de cette fonction est 2.
    Comment justifier qu'il existe un réel ε > 0 tel que f(a) > 2 +ε? Et comment prouver que pour tout réel x ≥ a , f(x) > 2+ε ?

    Je m'excuse d'en demandé autant de votre part, et je vous remercie de m'aider pour cette exercice.
    Robert.


  • Modérateurs

    Bonjour,

    Suis les indications donné par ton professeur.
    Suppose l'existence du réel a,
    donne la définition de fonction croissante
    ....



  • Bonjour Noemi, merci de m'avoir répondu.

    Le problème, c'est que je ne comprends pas comment le réel "a" peux exister alors que f(a) > 2. La limite de la fonction est 2 en + inf, c'est impossible non ?

    Sinon voici la définition d'une fonction croissante :
    f est croissante dans I si et seulement si pour tout réel a et tout réel b de I, si a<b, alors f(a) < f(b).

    Je te remercie encore de m'avoir répondu 🙂


  • Modérateurs

    C'est cette impossibilité qu'il faut que tu démontres.
    Tu supposes que ce a existe et tu établis la contradiction.



  • Bonsoir
    voilà ce que j'ai fait, peux tu me dire si c'est exact ?

    Soit a un réel ≥ 0 tel que f(a) > 2
    Définition d'une fonction croissante : Soient a et b deux réels b > a alors f(b > f(a).
    Soit ε réel tel que ε > 0.
    On sait que f(a) > 2 et on peut déduire que 2 + ε > 2 car ε > 0
    d'où f(a) > 2 +ε car f(a) - ε>2 . or pour tout x > ou = a on a f(x) > ou = f(a) par définition d'une fonction croissante.

    On a donc f(x) > ou = f(a) > 2 + Epsilon > 2. d'où f(x) > 2 + Epsilon.

    On a f(x) > 2 grâce à l'encadrement précédent, d'où une contradiction avec l'énoncé indiquant la limite fini 2 quand x tend vers + inf .
    S'il existait ce réel a tel que f(a) > 2 avec x > ou = a , la limite fourni par l'énoncé serait absurde.

    On peut conclure que pour tout x > ou = 0, f(x) < ou = 2. f étant majorée par y= 2 ( asymptote horizontale )

    Est ce que c'est exacte ?


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