Les vecteurs : Colinéarité, points alignés.

Soit ABCD un trapèze, tel que AB(vecteur)= 1/3 DC(vecteur)
M est le point d'intersection de (AC) et de (DB), N est le point d'intersection de (D) et de (CB).
I et K sont les milieux respectifs des segments [AB] et [CD].

Objectif de l'exercice : Démontrer l'alignement des points N, K, M et I à l'aide des vecteurs.

A. Démonstration :

Enoncer la propriété sur les vecteurs permettant de démontrer que trois points sont alignés.
Montrons que les vecteurs NK(vecteur) et NI(vecteur) sont colinéaires :
a) On se place dans le triangle NDC. Démontrer que ND/NA=NC/NB=DC/AB=3.
b) En déduire la valeur de k et k' tel que ND(vecteur)= k NA(vecteur) et DC(vecteur)= k' AB(vecteur).
c) Déterminer une expression du vecteur DK en fonction du vecteur AI.
d) Démontrer à l'aide d'une relation de Chasles que NK(vecteur)= 3 NI(vecteur). Conclure.
Avec un raisonnement similaire à question 2), démontrer que les vecteurs MK et IM sont colinéaires.
(Montrer que MC/MA=MD/MB=......, puis que MD(vecteur)= k'' BM(vecteur) (k' réel à préciser), ..., prouver que MK(vecteur)=3 IM(vecteur)...).
Démontrer l'alignement des points N,K,M et I.

****Je suis complètement perdue en maths, je ne comprends pas malgré beaucoup d'efforts de ma part. J'espère fort que vous pourriez m'aider. MERCI.

Bonsoir,

Indique tes éléments de réponse,
As-tu fait une figure ?

La propriété ?

Oui, mais ça ne m'aide pas plus..

Deux vecteurs u et v sont colinéaires s'il existe un réel k tel que u = kv.

Vous me dîtes juste cette phrase pour m'aider ?

Oui, c'est la propriété pour la question 1, à transformer avec trois points
Les points N, K et M sont alignés si et seulement si vect NK = vect ....

Merci, la question 1 est faite.

question 2 a) Utilise la propriété de Thalès.

Ok merci et pour les autres ?

Question b. Utilise le résultat de la question a.
c) Utilise le fait que I est le milieu du segment [AB].
d) C'est indiqué, la relation de Chasles.

Et dans le d) que dois-je conclure ?

On conclut que les points N, K et I sont alignés.

D'accord, et pour les questions suivantes ?

Pour la question 3 comme indiquée, c'est le même raisonnement que a question 2.

Pour la question 4, utilise la conclusion des questions 2 et 3.

D'accord merci beaucoup !

Excusez-moi de vous re-déranger mais pour la question2, la réponse c'est bien : DA=CB=AB/DC=3 ??

La question 2) a) c'est ND/NA=NC/NB=DC/AB=3.