exercice TS/ fonctions et primitives

Soit g la fonction définie sur ]1;+∞[ par g(x)=1/(x(x²-1))

Déterminer les réels a, b et c tel que l’on ait pour tout réel x>1 :
g(x)=(a/x)+(b/x+1)+(c/x-1)
1/(x(x²-1))=(a/x)+(b/x+1)+(c/x-1)
1/(x(x²-1))-(a/x)-(b/x+1)-(c/x-1)=0
a. Trouver toutes les primitives G de g sur ]1;+∞[ .
b. Trouver celle qui s’annule en 2.
Soit la fonction f définie sur ]1;+∞[ par f(x)=2x/(x²-1)²
Trouver la primitive F de f sur ]1;+∞[ qui vérifie F(2)=1.

F(x)=-(x)²/(x²-1)+C
F(2)=- (4/3)+C=1
C=(15/15)+(20/15)
C=7/3

j'aurais besoin d'aide pour la question 1 et 2ab et me dire si la 3 est bonne. Merci d'avance!

Bonjour Clown1994,

Pour cette équation par exemple,
quel est ton problème pour trouver a, b et c ?
=>
g(x)=1/(x(x²-1)) =(a/x)+(b/x+1)+(c/x-1)

bonjour
les fractions

Réduire au même dénominateur
te pose un problème ?
ex si l'on veut réduire tous les termes de l'équation
à ce dénominateur commun (x(x²-1))
alors si x <> 0, x<> -1, x <> 1
pour a/x par exemple on devra faire (a/x) X ((x²-1)/(x²-1))

ça ça va ?

oui merci

1/(x(x²-1))
=(ax²-a)/(x(x²-1))+(bx²-b)/(x(x²-1)+1)+(cx²-c/x(x²-1)-1

Presque ...

sachant que x²-1 = (x-1)(x+1)

1/(x(x²-1))

=(a/x)+(b/x+1)+(c/x-1)
=(a/x) ((x²-1)/(x²-1)) +(b/x+1)((x-1)/(x-1))(x/x)+(c/x-1)((x+1)/(x+1))(x/x)
=[a(x²-1) + b(x-1)x + c(x+1)x] / (x(x²-1))
= [(a+b+c) x² +(-b+c)x -a] / (x(x²-1))

<=> 1 = (a+b+c) x² +(-b+c)x -a
<=> (a+b+c) x² +(-b+c)x -(a+1) = 0 à résoudre

Peux tu corriger de ton coté et vérifier que tu trouves
ce même résultat

Euh j'ai supposé que c'était
=(a/x)+(b/(x+1))+(c/(x-1))
peut-être à tord ...

messinmaisoui

<=> 1 = (a+b+c) x² +(-b+c)x -a
<=> (a+b+c) x² +(-b+c)x -(a+1) = 0 à résoudre

oui mais je ne comprend pas ces 2 dernières lignes
par rapport au calcul d'avant

1/(x(x²-1))

=(a/x)+(b/x+1)+(c/x-1)
...
= [(a+b+c) x² +(-b+c)x -a] / (x(x²-1))

<=>
1/(x(x²-1)) = [(a+b+c) x² +(-b+c)x -a] / (x(x²-1))
on peut supprimer le dénominateur qui est le même
d'un coté comme de l'autre
<=>
1 = [(a+b+c) x² +(-b+c)x -a]

merci. Pour résoudre l'équation je bloque après

(a+b+c)x²+(-b+c)×(-a)-1=0

eh bien il faut calculer le delta
=> delta = (-b+c)² -4(a+b+c)(-a-1) ...

Si ça parait trop compliqué ou insoluble ... vérifier les calculs
ou chercher une astuce/indice qui simplifierait le calcul ...

on ne sait même pas si le delta est positif, nul ou négatif ?

C'est bien là le problème à résoudre ...
=>
Déterminer les réels a, b et c tel que l’on ait pour tout réel x>1

delta = (-b+c)² +4(a+b+c)(a+1)

Pour avoir des solutions il faut delta >= 0

si on developpe delta, rien de concluant n'apparait ...

donc à ce stade je n'ai plus d'autres idées pour avancer

Même en regardant de plus près l'énoncé
"Déterminer les réels a, b et c tel que l’on ait pour tout réel x>1
"
je ne vois pas en quoi x > 1 pourrait nous aider dans cet exercice ?

Peut-être d'autres forumeurs auront des suggestions
pour faire bouger ce topic ?

merci quand même je vais continuer à chercher

Bonjour à tous les deux,

Si c'est la question 1) qui bloque :

D'après les calculs déjà faits :

$\text{g(x)=\frac{(a+b+c)x^2+(c-b)x-a}{x(x^2-1)}$

Pour tout x ( différent de 0,1,-1) , il suffit d'identifier les deux expressions de g(x) , c'est à dire celle de l'énoncé et celle souhaitée :

Pour cela , on résout le système :

$\left{a+b+c=0\c-b=0\-a=1$

je ne comprend pas

Pour pouvoir t'expliquer plus en détail , merci de préciser clairement ce que tu comprends pas.

(C'est la méthode par IDENTIFICATION )

oui c'est le méthode par l'identification

Alors , as-tu compris ?

$\text{g(x)=\frac{(a+b+c)x^2+(c-b)x-a}{x(x^2-1)}$

Le "g(x)" de l'énoncé s'écrit :

$\text{g(x)=\frac{(0)x^2+(0)x+1}{x(x^2-1)}$

Par IDENTIFICATION , tu obtiens le système d'inconnues a,b,c que je t'ai écrit

Après calculs , tu dois obtenir : a=-1 , b=1/2 , c=1/2

( Tu pourras ainsi transformer g(x) pour pouvoir utiliser les primitives usuelles : c'est le but de cet exercice.)

oui merci!

Excuse messinmaisoui , je n'avais pas lu ton interrogation sur la condition x > 1 :

Voila la réponse :

pour x > 1 , il n'y a pas les 3 valeurs "interdites qui sont -1 , 0 , 1, pour lesquelles le dénominateur s'annule.

Sur ]1,+∞[ , la fonction g est définie ( et continue , donc intégrable )

mtschoon
Bonjour à tous les deux,

Si c'est la question 1) qui bloque :

D'après les calculs déjà faits :

$\text{g(x)=\frac{(a+b+c)x^2+(c-b)x-a}{x(x^2-1)}$

Pour tout x ( différent de 0,1,-1) , il suffit d'identifier les deux expressions de g(x) , c'est à dire celle de l'énoncé et celle souhaitée :

Pour cela , on résout le système :

$\left{a+b+c=0\c-b=0\-a=1$

C'est avec plaisir messinmaisoui

Ayant a , b , c , j'espère que clown1994 trouvera les primitives de g puis la primitive demandée.

On va bien voir.

non désolé je ne trouve pas...

Essaie de préciser... de quoi parles-tu ?

Si tu as compris la première question :

$\text{g(x)=-\frac{1}{x}+\frac{1}{2}(\frac{1}{x+1})+\frac{1}{2}(\frac{1}{x-1})$

Pour x>1 , il n'y a pas de problème d'existence pour les primitives demandées.

Tu sais qu'une primitive de 1/x est lnx , une primitive de 1/(x+1) est ln(1+x) et une primitive de 1/(x-1) est ln(x-1) donc ...........

donc G(x)=-lnx+(1/2)ln(1+x)+(1/2)ln(x-1)+C

OUI !

Et , vu que G(2)=0 , tu peux en déduire la valeur de C qui convient pour la question 2)b)

C=ln2-(1/2)ln3-(1/2)ln1

Oui , mais simplifie.

ln1=..............

ln1 = ....
[edit]

Oui pour ln1=0

Tu voulais savoir si la 3) est bonne : la réponse est Non.
(Question que tu peux te poser : U'/U² est la dérivée de qui ? ? ?)

F(x)=(-1/U)'=-1/(x²-1)+C

F(2)=1
alors C=4/3

Presque , mais une erreur de signe...( et n'oublie pas la constante )

( Pense : quelle est la dérivée de 1/U ? )

D'accord. Merci beaucoup!

Je regarde ta modification de 19:30 ( ce serait mieux , à l'avenir , de respecter l'ordre chronologique du dialogue ! )

OK pour $\text{f(x)=-\frac{1}{x^2-1}+c$

OK pour la valeur de la constante