Les complexes, ensemble pour lequel Z réel, Z imaginaire

Bonjour,
Pouvez vous m'aidez à résoudre cet exercice s'il vous plaît ?

On pose z=x+iy (x et y réels)
a. On considère, pour z≠1, le complexe Z=(z+2i)((conjugué de z)+3); exprimer en fonction de x et y la forme algébrique de Z.
b. Déterminer l'ensemble des points M d'affixe z pour lesquels Z est un réel
c. Déterminer l'ensemble des points M d'affixe z pour lesquels Z est un imaginaire pur.

Pour la a. je dois développer : (x+iy+2i)(x-iy+3) ?

Merci.

Bonjour Blarg,

Oui, pour le a. développe l'expression.

Ok.

Je trouve Z = -x²+3x-y²+3iy-2ix-2y-6i

est ce juste ?

Des problèmes de signes.

Vérifie tes calculs.

Z= x²+3x+y²+3iy-2ix-2y-6i

Encore des erreurs de signes :

Z= x²+3x+2y+y²+3iy+2ix+6i

J'ai refait le calcul et je ne vois pas où je fais des erreurs de signes

J'ai indiqué le résultat à trouver :
exemple
32i = 6i et non -6i.
2i(-iy) = -2i²y = 2y et non -2y

Je viens de voir que je me suis trompé dans l'énoncé,
Z=(z-2i)((conjugué de z)+3)
Z=(x+iy-2i)(x-iy+3)
Z=x²+3x+y²+3iy-2ix-2y-6i

Je peux écrire l'égalité comme ça : Z=(x+3+2i)x + (y+2+3i)y + 6i ?

je voulais dire : Z=(x+3-2i)x + (y-2+3i)y - 6i ?

A partir de
Z=x²+3x+y²+3iy-2ix-2y-6i
tu écris :
Z=x²+3x-2y+y²+ i(3y-2x-6)

ok, merci.

Comment dois je procéder pour la suite ?

Si Z est réel, sa partie imaginaire est nulle donc
.....

donc Z=x²+3x + i(3y-2x-6) ?

Mais suite au développement de Z=(x+iy-2i)(x-iy+3) je ne devrais pas trouver quelque chose de la forme Z=x+iy ?

Tu as : Z=x²+3x-2y+y²+ i(3y-2x-6)
= X + iY
soit
partie réelle X=x²+3x-2y+y²
et
partie imaginaire
Y = 3y-2x-6

ok

Donc si Z est réel, on a Z=x²+3x-2y+y² ?

Donc la partie imaginaire est nulle, soit :
3y-2x-6 = 0
Equation ......

On a Z=x²+3x-2y+y²+0 ce qui correspond à une équation de cercle ?

Il faut prendre en compte la partie qui est nulle.

la partie qui est nulle est : +0 dans l'équation non ?

C'est :
3y-2x-6 = 0
Equation ......

Je ne comprend pas, quelle partie dois je prendre en compte pour déterminer l'ensemble des points, la partie des réels ou celle des imaginaires ?

b) si Z est réel, sa partie imaginaire est nulle.
c) si Z est imaginaire pur, sa partie réelle est nulle.

Tu analyses la partie qui doit être égale à 0.

a. 3y-2x-6 = 0 : équation de droite
b. x²+3x-2y+y² = 0 : équation de cercle

c'est tout ce que je dois dire ?

Précise le centre et le rayon du cercle.

ok.

b. x²+3x-2y+y² = 0
x²+3x =(x+3)²-9
y²-2y = (y-1)²-1

(x+3)²-9 + (y-1)²-1 = 0
(x+3)²+(y-1)²=10

cercle de centre (-3;1) de rayon √10

b. x²+3x-2y+y² = 0
x²+3x =(x+3/2)²-9/4
y²-2y = (y-1)²-1

(x+3/2)²-9/4 + (y-1)²-1 = 0
(x+3/2)²+(y-1)²=.....

cercle de centre (-3/2;1) de rayon ....

(x+3/2)²+(y-1)²=13/4

cercle de centre (-3/2;1) de rayon √13/4

√(13/4) ou √13/2

ok, merci