application de dérivation sur un triangle isocèle

Bonjour ou bonsoir , j'ai un petite exercice de math qui me pose un petit souci

*On note (C) le cercle de centre o et de rayon 1.
Soient A et B les points de coordonnées : (1;0) et (0;1) .

Le point M appartient à l'arc AB et le point N est situé sur la droite (OA) , disctinc de O , tel que le MON soit isocèle en M . On note x l'abscisse de M.

a. Démontrer que l'aire du triangle OMN est égale à f(x) avec f(x) = x√1-x²
b.Pour quelle valeur de x cette aire est elle maximale?
c. Démontrer qu'il existe deux triangles MON d'aire égale à 0.25.
Préciser les abscisses des points M correspondants
Rappel: Une équation de (C) est: x²+y²=1

Pour la a) je pense qu'il faut utiliser le rappel et qu'on l'obtient avec une recherche de distance mais je ne vois pas comment le prouver et montrer tout ça ... Je sais que l'aire du triangle est égale à base*hauteur ... et la op je suis perdu ...

b) est surement une équation et c) je ne m'y suis pas encore penché ...

Merci d'avance de vos aides

Bonsoir johnsmith,

a. Exprime en fonction de x, la base ON et la hauteur MH du triangle OMN.
b. Calcule la dérivée et dresse le tableau de variation.

Bonjour Noemie,

Mais x est l'abscisse de M non ? ...
Je pensais faire ON=2x et MH √y²-x²...
mais je ne vois pas comment le prouver ni rien ...

Je suis d'accord avec Dylan , je vois que nous avons le même exercice , et oui moi je pensais même diviser par 2 √y²-x² pour retrouver f(x) comme demandé mais cela ne m'apportait rien géométriquement parlant .

C'est correct
ON = 2x, le triangle OMN est isocèle en M, donc la hauteur MH est aussi médiane, H est le milieu de ON.
MH = √(y²-x²), mais le rayon = 1, soit y = 1
donc MH = √(1-x²)
....

Oui mais je voulais moi diviser par 2 car la on se retrouve avec 2x et nlon pas x comme dans f(x) ...

Il faut diviser par 2 car l'aire d'un triangle base x hauteur/2

ah oui exact c'est sur 2 ...
Pour le b) dérivé et tableau fait mais nous avons 1 comme valeur interdite dans la dérivé donc également dans f(x) mais sinon je ne vois comment trouver l'aire maximale ...

Pour le c) il faut utilisé les valeurs intermédiaires ?

Oui,
pour le b) dérivée et tableau de variations
et le c) tableau de variation et théorème des valeurs intermédiaires.

c'est ce que je me disais donc le tableau est fait mais ma valeur maximale est ou ? ...

Pour le c) je pense pouvoir réussir

c'est ce que je me disais donc le tableau est fait mais ma valeur maximale est ou ? ...

Pour le c) je pense pouvoir réussir

Donc si je trouve quelque chose de correct le maximal est de 0.5 cm² ...

Indique tes résultats,
dérivée et tableau de variations.

j'ai réeussi je crois car x= √1/2 et donc quand je remplace cela me donne 0.5 en corrigeant une simple erreur de signe .

Pour le c) je doit utilisé comment le théorème des valeurs intermédiaires ?
Je dis que entre 0 et 0.5 il y a bien une aire égal à 0.25 et de même entre 0.5 et 1 ? mais apés comment je pourrais affiner ?

C'est correct.

Tu affines le résultat avec la calculatrice (tableau de valeurs)

D'accord je fais ça et je vous donne mon résultat

Et je doit trouver comment l'abscisse de M ... ?

Tu cherches x tel que f(x) = 0,25.
résous cette équation.

J'ai trouver que x se trouve entre 0.25 et 0.26 et également entre 0.96 et 0.97 cela suffit ?

Ces résultats sont correct mais la justification est insuffisante pour une TS,

il faut le prouver par un calcul, et donner les valeurs exactes.
résolution de l'équation f(x) = 0,25

Mais j'ai utilisé le théorème des valeurs intermédiaires alors cela ne suffit pas ? ... je suis perdu du coup

Le théorème des valeurs intermédiaires te permet de montrer l'existence.
La calculatrice te permet de trouver une valeur approchée,
si on veut une valeur exacte, on résout l'équation
soit x*√(1-x²) = 1/4, ou 4x√(1-x²)=1
si on élève au carré avec x compris entre 0 et 1
16x²(1-x²) - 1 = 0

Changement de variable X = x² pour obtenir une équation du second degré à résoudre.

je trouve alors 16x²-16x^4-1=0

changement de variables :

16X-16X²-1=0
delta: 16²-4161 = 192

2racines

-16-√192/2*16
= -0.93

-16+√192/2*16
=-0.06

Je ne pense pas que ça convienne la ..

Une erreur de signes

16X-16X²-1=0 équivalent à 16X²-16X + 1 = 0
delta: 16²-4161 = 192 = (8√3)²

2racines

(16-8√3)/2*16 = (2-√3)/4

(16+8√3)/2*16 = (2+√3)/4

Soit x = √(2-√3)/2 et .....
Vérification
x = ....

Merci grâce à vous j'ai réussi , mon exercice m'a paru plus simple avec vous , merci beaucoup