Raisonnement par recurrence

Bonjours à tous !

J'ai un petit bloquage sur un exercice de mathématiques sur les recurrences:

u0= 5/2
un+1= (5un-4)/(2un-1)

calculer f'(x)= 3/(2x-1)²
et la fonction est croissante, d'apres le tableau de signe.
demontrer par recurrence que, pour tout n , Un ∈ [ 3/2;5/2]
→ je verifie pour U0 c'est verifier, et ensuite je bloque , le principe est bien d'encadrer Un+1 entre 3/2 et 5/2 ?
Demontrer que pout tout n un= 2+ 1/(3∧(n+1) - 1
Pareil je verifie pour n=0 , c'est validé
pui nous devons prouver que un+1= 2+ (1/3∧n+2) -1
et j'arrive a rien !

Help !

Bonjour Sophia0brooke,

Tu supposes que Un vérifie l'encadrement et tu cherches un encadrement pour $U_{n+1}$ .

C'est exactemet ce que j'ai fais mais je n'arrive à rien , je tombe sur un encadrement avec des un

Indique tes calculs.

je pars de 3/2 ≤Un≤5/2
ensuite je multiplie par 5 je soustrait 4 et je divise par 2Un-1 jobtiens
7/4un-2 ≤ un+1 ≤18/2un-2
je ne sais pas quoi faire aprés !

Bonjour,

Piste,

Tu sembles avoir étudié la fonction f définie par f(x)=(5x+4)/(2x-1)

Or , $U$ _{n+1} $f(U_n$ )

Utilise le sens de variation de f
( $U_n$ est x , $U_{n+1}$ est f(x) )

merci je vais faire cela et pour la derniers question quelqu''un pourrait m'aider ?

merci je vais faire cela et pour la derniers question quelqu''un pourrait m'aider ?

Principe pour la dernière question ( pour la "transmission" de la récurrence )

Tu sais que $\text{u_{n+1}=\frac{5u_n - 4 }{2u_n - 1 }$

Dans cette formule , tu remplaces $U_n$ par l'expression servant d'hypothèse à la récurrence et tu transformes jusqu'à trouver la forme désirée pour $U_{n+1}$

merci alors j'ai essayer mais je n'arrive pas a grand chose je ne sais pas si c'est mon hypothése ou mon calcul actuel qui est faux ?
j'arrive a (18∧n+1 x 3∧n+1 -18∧n+1 -3∧n+1 +1)/(3∧n+1 x 9∧n+1-9∧n+1 -2)

Je n'ai pas vérifié ta réponse car je ne la trouve pas très lisible...

Une possibilité :

Tu peux transformer d'abord Un en réduisant au même dénominateur.

Tu écris ainsi : $\fbox{u_n=\frac{2.3^{n+1}-1}{3^{n+1}-1}}$ (*)

Il faut que tu démontres que : $un+1=2.3n+2−13n+2−1u_{n+1}=\frac{2.3^{n+2}-1}{3^{n+2}-1}$

Cela se fait bien .

Dans $U_{n+1}$ , après avoir remplacer $U_n$ par l'expression (*) , réduis le numérateur et le dénominateur au "même dénominateur $3^{n+1}$ -1) que tu supprimes ensuite.

Après développements et simplificatioens , tu arrives à :

$un+1=6.3n+1−13.3n+1−1u_{n+1}=\frac{6.3^{n+1}-1}{3.3^{n+1}-1}$

$un+1=2.3.3n+1−13.3n+1−1u_{n+1}=\frac{2.3.3^{n+1}-1}{3.3^{n+1}-1}$

$\fbox{u_{n+1}=\frac{2.3^{n+2}-1}{3^{n+2}-1}}$