Intégrales et démonstrations

Bonjour à tous,
J'ai des exercices sur les intégrales qui sont un peu corsés... j'aimerais un coup de main pour me lancer sur le chemin de la solution!

Ex1
Soit f une fonction continue sur [a;b] tel que ∀ x ∈ [a;b] , $f (x) = f (a + b - x)$

montrer que l'on à $∫abxf(x)dx=a+b2∫abf(x)dx\int_{a}^{b}{x f(x) dx } = \frac{a+b}{2}\int_{a}^{b}{f(x)dx}$
en déduire la valeur de $∫0πxsin⁡x1+cos2xdx\int_{0}^{\pi }{\frac{x\sin x}{1+cos^2 x}dx}$

pour le 1) j'ai exprimé les intégrales en fonction de a et b, mais j'arrive à deux résultats différents... et vu que je ne trouve rien, pour la 2) c'est pas évident... j'ai essayé de la calculer avec inégration par partie ou changement de variable, mais je tourne aussi en rond...

Ex2
on considère l'intégrale In = $∫01xn1−xdx\int_{0}^{1}{x^n \sqrt{1-x} dx}$
, n ∈ N

etablir pour n>1 une relation entre In et In-1
calculer In

pour l'ex2... aucun début d'inspiration...
Merci pour votre aide!

Je vous avais dis qu'ils étaient corsés...