Fonction h définie par h(x) = x + 1/x

Bonjour à tous,

Voilà, je n'arrive pas à m'en sortir avec cet exercice . Pouvez-vous m'aider ou me guider à le résoudre s'il vous plaît ? Merci d'avance !

Exercice 1:

On considère la fonction h définie sur ]0 ; + ∞[ par : h(x) = x + (1/x).

Montrer que pour tous réels a et b strictement positifs: h(b) – h(a) = (b-a)(ab-1) / ab.
Étudier les variations de h sur chacun des intervalles ]0 ; 1] et [1 ; +∞[.
Applications

a. Parmi tous les triangles d'aire égale à 1, quel est celui de périmètre minimal ?
b. Soit a et b deux réels strictement positifs. Démontrer l'inégalité a/b + b/a ≥ 2.
c. En déduire l'inégalité a/b + b/c + c/d + d/e + e/f + f/g + j/h + h/a ≥ 8 où a,b,c,d,e,f,g et h sont des nombres strictement positifs.

quelqu'un pourrait m'aider s'il vous plaît ?

Help Please ! :frowning2:

Bonsoir Lucky_Boy,

Indique tes éléments de réponse.

Ecris h(b) - h(a) et compare ton résultat en développant (b-a)(ab-1) / ab.

J'y suis arrivé pour le 1 et le 2 !!!

mais le 3 ?

J'ai pu démontrer.
sur ]0;1] = la fonction h est strictement décroissante.
sur [1;+∞[ = la fonction h est strictement croissante.

Dois-je faire un tableau de variation ? (mais ce n'est pas demandé)

Là je bloque vraiment !! (Et pour la a, il n'y a pas de figure donc comment faire pour répondre à cette question?)

Le tableau de variation n'est pas indispensable.

Merci

Et pour la question 3, pouvez-vous m'aider ?

L'énoncé est-il complet ?
Type du triangle ?

Oui, l'énoncé est complet et le type de triangle n'est pas indiqué.

Je me suis trompé dans l'énoncé, Je suis vraiment désolé, c'est un rectangle et non un triangle, on vient de me le dire, c'est mon prof qui c'est trompé.

donc pouvez- m'aider s'il vous plaît ?

Ce sont des rectangles avec des dimensions particulières ?

non !

Utilise le minimum de la fonction.

je ne sais pas comment faire

Quelles sont les coordonnées du minimum de la fonction h ?

la fonction h définie sur ]0 ; + ∞[

Elle admet un minimum en 2.

que dois je faire svp ?

Non,

Le minimum est atteint pour x = 1
un rectangle d'aire 1 est tel que L * l = 1, soit L = 1/l
Périmètre L + l = 1/l + l
Donc L = l = 1

Merci infiniment madame

Désolé de vous réembetter encore un peu !

euh, comment faire pour démontrer l'inégalité pour la b s'il vous plaît ?

pour le réduis au même dénominateur et pense aux identités remarquable.

a/b + b/a = a/b + 1/ (a/b) <=> a/b + b/a

a est positif
b est positif
donc si on divise, on obtient un nombre positif
donc a/b est positif

La fonction h admet un minimum sur ]0;+ ∞[

sur ]0;1] = la fonction h est strictement décroissante.
sur [1;+∞[ = la fonction h est strictement croissante.

donc pour tout x appartenant à ]0 ; + ∞[ , h(x) est supérieur ou égale à 2.

c'est correct ?

Pour le b), tu fais le lien avec la fonction
x= a/b, or h(x) ≥ 2, donc a/b + b/a ≥ 2.

donc je dois démontrer que h(x) = a/b + b/a

et comme h(x) est supérieur ou égale à 2 donc a/b + b/a ≥ 2 ???

Juste écrire que x = a/b
puis x + 1/x = a/b + b/a et faire le lien avec les variations de la fonction h.

d'accord, et pour finir le 3.c ? svp madame

Si tu considères que tu additionnes quatre valeurs de h(x), la somme sera supérieure à .....

sera supérieur à 8 comme h(x) est supérieur ou égale à 2, c'est bien ça ?

Je vous remercie infiniment de m'avoir aidé Noemie. merci beaucoup !!!