probleme solution aqueuse

Bonsoir , mon professeur nous a donné une activitée mais je ne l'a comprend pas ..
Voici le sujet :

Une solution aqueuse dont la salinité est de 0.3kg.L-1 se déverse à la vitesse de 2L.min-1 dans un réservoir contenant a l'instant t(0) 10L d'eau pure.
On suppose que le mélange est homogène à chaque instant
Le mélange s'écoule dans le réservoir à la même vitese, ainsi sa contenance reste égale à 10L.

On note y(t) la masse du sel en kg contenu dans le réservoir au bout de t minutes.

a) Que vaut y(0)?

b) On note h une durée (en minutes) assez petite pour que l'on puisse considérer que la [c] en sel ne varie pas entre les instants t et t+h (h>0).

expliquer pourquoi entre les instants t et t+h il s'ecoule du réservoir 2h litres de solution contenant : 2h* (y(t)/10) kg de sel.
Expliquer pourquoi, entre les instants t et t+h, il se déverse dans le réservoir 2h litres de solution qui contiennent 0,6h kg de sel.
Montrer que y(t+h)-y(t) = -2hy(t)+0,6

c) En déduire que y est dérivable sur [0;+infini[ et vérifie l'équation différentielle :
y'(t) = -0,2y(t) +0,6.

J'ai répondu a la question a)
c'est y(0) = 0 kg vu qu'a 0minute l'eau est encore pure .

b) je vois pas comment demontrer le resultat 2h * y(t)/10

si quelqu'un peut m'eclairer ..
merci

Bonsoir melissa_15

La solution se déverse à la vitesse de 2L/min,
donc en 1 minute, il se déverse .....
et en h minutes, il se déverse .....
y(t) est la masse de sel en kg contenue dans le réservoir,
.....

Bonsoir Noemi , merci de m'aider

Alors en 1 minute , il se déverse 2 Litres de solution donc 0.6kg de sel => on a 0.3 kg par litre donc 0.3*2 litres = 0.6 kg

En H minutes , il se deverse 2 litres de solution * le temps en minutes * (La masse de sel en kg contenue dans le reservoir
Donc => 2h(y(t)/10)

c'est sa ?

1 minute, il se déverse 2 L
et en h minutes, il se déverse 2h L
y(t) est la masse de sel en kg contenue dans le réservoir,
or le réservoir contient en permanence 10 L.
donc
...;

donc la masse de sel qui est dans le reservoir en t minute / par le reservoir de 10 L
soit y(t) / 10 ?

ce qui amene en regroupant le tout a la formule 2h*(y(t)/10) ?

=> Si j'ai bien compris le truc , en gros l'instant t sa serais : y(t)/10

et pour avoir t+h on ajoute 2h car on deverse 2Litres par minutes
(minutes = h )

d'ou la formule qu'on voulait 2h*(y(t)/10) ?

C'est correct.

Ok !

Pour la question : Expliquer pourquoi, entre les instants t et t+h, il se déverse dans le réservoir 2h litres de solution qui contiennent 0,6h kg de sel.

=>On sait que la vitesse est de 2 L.min-1 et qu'il se deverse 0.3kg par Litre-1
et que t+h=2h

On a donc 2*0.3=0.6kg
on remplace alors dans la formule t+h =2h , le 2
soit t+h= 0.6h kg de sel

c'est bon je pense?

En 1 minute, il se déverse 2L,
en h minutes, il se déverse 2h L
la salinité est de0,3 kg/L, donc 0,3 x 2h = 0,6h kg

D'accord .

Pour la question suivante : Montrer que y(t+h)-y(t) = -2hy(t)+0,6

j'ai trouvé que :

il s'écoule 2h y(t)/10
Il déverse 0.6 h

donc y(t+h)-y(t) = -2hy(t)+0,6

c'est ça ?

Une erreur :

il s'écoule 2h y(t)/10
Il déverse 0.6 h

donc y(t+h)-y(t) = -2hy(t)/10+0,6h

ah oui exact , j'ai mal tapper sur l'ordinateur :rolling_eyes:

Pour la C) En déduire que y est dérivable sur [0;+infini[ et vérifie l'équation différentielle : y'(t) = -0,2y(t) +0,6.

j'ai utilisé la formule : (y(t+h)-y(t)) / h = (-2h(y(t)/10)+0.6h) / h
= h -2 (y(t)/10)+0.6h)/ h
( on enleve les h )

= -2(y(t)/10)+0.6
le -2 est divisé par 10 donc
=-0.2 y(t)+0.6

Lim ( y(t+h)-y(t) ) / h = -0.2y(t)+0.6
h→0

donc y est dérivable sur [0;+∞[

et pour verifier y'(t)=-0.2y(t)+0.6
on fait comment par contre ?

Avec :
Lim ( y(t+h)-y(t) ) / h = y'(t)
h→0

ah d'accord merci beaucoup de ton aide