Dm spé: congruences

Salut!
J'ai quelques soucis sur un dm de spé maths, portant sur les congruences en particulier.
Il semble que les questions soient independantes, je vous met donc seulement celles a probleme:
3.a. Determiner les restes de la division par 29 de $7^n$ pour n∈{1;2;3;4;5;6}
En deduire le reste de la division par 29 de $7^{12}$
b. Quel est le reste de la division par 29 de $1515^{2008}$ ?
Je cale surtout sur la derniere, quelle methode utiliser?
J'ai deja trouvé que 1515=29x52+7 donc 1515≡7[29] mais je ne vois plus quoi faire...

Bonsoir alturis,

Calcule le reste de $7^{2008}$

Ma error sur ma calculatrice, il y'a une facon de faire avec de si grands exposants?

Utilise le résultat de la question 3.a.

J'ai 7²≡49≡20[29] et $7^4$ ≡23[29] pour la question 3.a, mais l'exposant est tout de meme tres important, je n'arrive pas a le manipuler..

Et pour n = 1, 3, 5 et 6 ?

n=1 j'ai 7 congru a 7 mod 29
n=3, 7^3 congru a 24
7^5 congru a 16
7^6 congru a 25

Si n = 7 ?
puis 2008 = 29x .... + .....

ah je viens de voir! Merci beaucoup!

A nouveau je bloque sur une question, qui est la suivante:
Soit n un entier naturel au moins egal a 2. Quel est le reste de la division par 4 de la somme: $S n = 1$ ^n $+ 2$ ^n $+ 3$ ^n $4^n$ ?
On distinguera deux cas

J'ai donc pensé pour n pair et pour n impair, apres quelques calculs je trouve reste 2 pour n pair et reste 0 pour n impair, mais la demonstration m'echappe!

Oui,

n pair ou n impair,
analyse séparément chaque terme.

Comment dois je proceder pour cette analyse? Dois je chercher les restes par 4 de chaque terme?

C'est une solution.

Bonne nuit.