Fonction sens de variation

Bonjour,
Pourriez vous me dire si cet exercice est correct svp ?

Soit f, la fonction définie sur ℜ par f(x)=3/(x²+1) -2

1- Etudier le sens de variation de f sur l'intervalle ]-∞;0].
Soient a et b deux réels de ]-∞;0] tels que a≤b≤0.
Comparons f(a) et f(b).
f(a)= 3/(a²+1) -2
f(b)= 3/(b²+1) -2
De a≤b≤0 on déduit successivement;
0≤b²≤a²
1≤b²+1≤a²+1
1≤1/(a²+1)≤1/(b²+1)
3≤3/(a²+1)≤3/(b²+1)
1≤3/(a²+1) -2≤ 3/(b²+1) -2
On a 3/(a²+1) -2≤ 3/(b²+1) -2 donc f(a)≤f(b);
Et a≤b;
Dans ce cas les réels a et b et leurs images sont rangés dans le même ordre, on dit que f conserve l'ordre sur l'intervalle ]-∞;0].
On déduit que f est croissante sur l'intervalle ]-∞;0].

Merci.

Bonsoir linam,

Une erreur lors du passage de
1≤b²+1≤a²+1
à
1≤1/(a²+1)≤1/(b²+1)
c'est
0 ≤1/(a²+1)≤1/(b²+1)≤1

Merci de votre intervention.
J'ai du mal à comprendre mon erreur. :S Auriez vous la gentillesse d'expliquer svp ? Pourquoi faut-il ajouter un membre de plus à l'inégalité ? :S

1≤b²+1≤a²+1
donne
1/(a²+1)≤1/(b²+1)≤1

de plus a² + 1 ≥ 0
donc on peut écrire :
0 ≤1/(a²+1)≤1/(b²+1)≤1

En fait, on cherche la relation entre f(a) et f(b) les bornes ne sont pas indispensables.