Variation de l'aire d'un triangle



  • Bonjour, je suis en classe de seconde et mon prof de math nous a laissé un DM pour lundi avec un énoncé pas très clair:
    ABC est un triangle isocèle et rectangle en A tel que AB= 4cm.
    M est un point mobile appartenant au segment [AB].
    Pour chaque point M, N est le point qui appartient au segment [AC] et tel que MN= 4cm.

    Je ne comprend pas la dernière phrase: le segment MN est-il toujours égal à 4cm? Etant donné que le point M est mobile ce n'est pas possible donc ma question est quand est-ce que MN= 4cm?

    Ensuite, on note x la distance AM (en cm) et f la fonction qui à x associe f(x) l'aire du triangle AMN (en cm²).

    1. Quel est Df l'ensemble de définition de la fonction f? (on admet les triangles aplatis)

    J'ai répondu que l'ensemble de Df est sur l'intervalle [0;4].

    1. Montrer que pour tout x appartenant à Df, f(x)= ½ √(16x² - x^4).

    Pour cette question là je suis complètement perdue, je ne comprend pas comment on peut arriver à ce résultat.

    Merci d'avance pour votre aide 🙂


  • Modérateurs

    Bonjour ordimath,

    As-tu fait une figure ? avec géogébra ?

    Quelle est la nature du triangle AMN ? Exprime la mesure du côté AN en fonction de x.



  • Bonjour,
    Bien sûr que MN peut valoir 4 bien que M se déplace sur [AB] ( N se déplace aussi).
    Quelle est la nature du triangle AMN ?
    Calcule AN.



  • Bonjour, le triangle AMN est un triangle rectangle mais j'ignore s'il est isocèle. Mais je comprend pas comment on peut calculer AN en fonction de x puisque x=AM. Et oui j'ai déjà réalisé la figure sur géogebra.



  • Peu importe qu'il soit isocèle ou pas.
    Il est rectangle en A. Tu connais AM = x et MN = 4. Tu peux donc calculer AN.
    Tu as entendu parler du th de Pythagore ?



  • Ok c'est bon pour AN. Mais je ne comprend toujours pas pour MN= 4 cm parce que que je vais devoir bouger le point M afin de varier l'aire du triangle. Il faudra alors que je bouge le point N en même temps que le point M pour que MN soit toujours égal à 4 cm?



  • Oui.
    Quelle importance ?
    Les calculs se font en fonction de x.
    Utilise géogébra en faisant bouger M.
    Sinon, procède ainsi :
    Trace le triangle ABC
    Choisis un point M sur le segment [AB]
    Trace le cercle de centre M et de rayon 4 : il coupe le segment [AC] en N.

    Recommence avec un autre point M, tu obtiens un autre point N avec toujours MN = 4.



  • D'accord merci beaucoup c'est plus simple avec le cercle. Et il y a aussi une autre question où je suis complètement perdue:

    On note x la distance AM (en cm) et f la fonction qui à x associe f(x) l'aire du triangle AMN (en cm²).

    1. Quel est Df l'ensemble de définition de la fonction f? (on admet les triangles aplatis)

    J'ai répondu que l'ensemble de Df est sur l'intervalle [0;4].

    1. Montrer que pour tout x appartenant à Df, f(x)= ½ √(16x² - x^4).
      Je comprend pas du tout comment on peu arriver à ce résultat.


  • Ton ensemble de définition est correct ( en admettant les triangles aplatis).
    Pour la question suivante, je t'avais demandé de calculer AN à l'aide du th de Pythagore : quel est ton résultat ?



  • J'ai fait:
    AN²= x²-4²
    AN²= (x-4)(x+4)
    AN²=x²-16
    AN=√x²-16
    Après je ne sais pas :/.



  • Non : c'est le contraire :
    MN² = AM² + AN²
    donc AN² = MN² - AM²
    AN²= 16 - x²

    La factorisation est ici inutile
    Attention : la racine carrée porte sur tout : AN = √(16 - x²)

    Tu connais AM et AN : tu peux donc calculer l'aire du triangle AMN. C'est d'autant plus facile que c'est un triangle rectangle.
    Tu sais calculer l'aire d'un triangle.



  • Oui je fais (AN×AM)÷2 mais ça me donne 1/2 √(16-x²) × x et non pas 1/2√(16x²-x^4).



  • Mais si : fais rentrer le x sous le radical : tous les nombres sont positifs.



  • Comment ça sous le radical? Sous la racine? Si oui, il faudra multiplier 16 et -x² par x?



  • Non : par x² car x étant positif, x = √(x²)
    Donc ton aire est ègale à (1/2).√(x²).√(16-x²) = (1/2).√((x²)(16-x²))
    Je te laisse achever.



  • D'accord merci. Une dernière question je suis pas très sûre que les résultats suivants soient justes:

    a)Montrer que pour tout x appartenant à Df, 16x²-x^4=64-(x²-8)².
    Ma réponse: 64-(x^4-16x²+64)
    =64-x^4+16x²-64
    =16x²-x^4

    b)Résoudre l'équation 64-(x²-8)²=64.
    Ma réponse: (x²-8)²=0
    (x²-8)(x²+8)=0
    Donc soit x²-8=0
    x=√8
    Soit x²+8=0
    x=-√8

    c)Résoudre l'équation f(x)=4
    Je compte la résoudre en faisant 64-(x²-8)²=4 mais au final je tombe toujours sur un résultat en fonction de x.



  • Pour le a), c'est juste.
    Mais par pour le b)
    (x²-8)² = 0 oui, mais si tu développes (x²-8)(x²+8), tu trouves x4x^4-64 qui n'est pas (x²-8)²
    De plus, tu obtiens un carré négatif( si x² + 8 =0 alors x² = -8), ce qui est bizarre, et non pas -√8.

    Si un carré est nul, le nombre lui-même est nul :
    (x²-8)² = 0
    donc x²-8 = 0
    donc x² = 8
    Et puisque x est positif : x = √8



  • D'accord et pour la résolution de l'équation f(x)=4?



  • Remplace f(x) par ce que tu as trouvé : tu t'apercevras que c'est justement l'équation que tu viens ( que je viens ?) de résoudre.



  • C'est ce que j'ai fait: 64-(x²-8)²=4
    (x²-8)²=-60
    x²-8=-√60
    Après je bloque



  • Tu as oublié :

    • de multiplier par 2
    • d'élever au carré à droite :
      f(x) = 4
      (1/2)√(16x² - x4x^4) = 4
      √(16x² - x4x^4) = 8
      16x² - x4x^4 = 64
      64-(x²-8)² = 64
      C'est bien la même.


  • D'accord merci beaucoup c'était très bien expliqué j'ai absolument tout compris. Merci encore! 🙂



  • De rien.
    A+



  • Bonjour ! voilà j'ai le même dm a faire mais pour demain et je ne m'en sors pas a la question D svp aidez moi !

    d) en déduire la valeur maximum de f(x) et la valeur exact de x pour laquelle il est atteint .


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