Determination de deux inconnues : équation différentielle

Bonjour,
J'ai un exercice sur les équations différentielles à résoudre mais une questions intermédiaire me pose problème, je suis donc bloquée pour la suite. Voilà l'énoncé :
Déterminer deux réels m et p tels que la fonction definie sur R par $f(x)=e−x/2(mx2+p)f\left(x \right)=e^{-x/2}(mx^{2}+p)$ soit solutions de (E') avec (E') : $2y'+y = e^{-x/2}(x+1)$
Comme f est solution de (E'), j'ai donc remplacé y et y' par f(x) et f'(x). J'ai calculé f'(x) egalement. Je cherche maintenant a calculé 2f'(x)+f(x) pour pouvoir faire l'indentification. Mais ce que je trouve est très compliqué et je n'arrive pas a simplifié. Comment faire?

Bonjour Nora,

Indique tes calculs.

Oui, c'est ce que je venais faire après m'être rendu compte que j'avais oublié!
J'ai commencé par calculé f'(x) : $=\frac{(\frac{-1}{2}e^{-x/2})(mx^{2}+px)-(2mx+p)(e^{-x/2})}{(mx^{2}+px)^{2}}$
Ensuite, j'ai remplacé ces valeurs dans 2f'+f et j'arrive à :
$2*(\frac{(e^{-x/2})(mx^{2}+px-2mx+p-1+(mx^{2}+px)^{3}}{(mx^{2}+px)}$
est-ce que je peux simplifié $(mx2+px)3(mx2+px)2\frac{(mx^{2}+px)^{3}}{(mx^{2}+px)^{2}}$ ?
Voilà ou j'en suis. Merci de m'aider

Le terme (mx² +p) est au dénominateur ?

Bonjour, désolé d'intervenir : en plus, c'est mx² + p ou mx² + px ?
Parce que dans le premier cas il n'y a pas de solution.

Je me suis trompé en recopiant, au dénominateur, on trouve bien : $mx^{2}+px)^{2}$
Je me suis également trompé dans mon tout premier message : $f(x) = e^{-x/2}(mx^{2}+px)$ et non pas p !
Je suis desolé pour ces erreurs !

C'est bien $e^{-x/2}$ multiplié par (mx²+px) ?
Dans ce cas, ta dérivée est fausse : il n'y a pas de dénominateur.

Pourquoi il apparait un dénominateur lors du calcul de la dérivée ?

Tu appliques (UV)' = U'V + UV'

Attention au signe lors du calcul de 2y' + y.

Mais oui bien sur, je suis bête ou alors j'avais la tête ailleurs en faisant ça. J'ai appliqué $(uv)′\left(\frac{u}{v} \right)'$ par habitude !
Merci beaucoup pour votre aide, ça sera plus facile maintenant.

Effectivement, determiner la derivée etait plus simple, mais je bloque toujours. Pour f'(x), j'ai trouvé : $f′(x)=e−x2(−12mx2−12px+2mx+p)f'(x)=e^{\frac{-x}{2}}(\frac{-1}{2}mx^{2}-\frac{1}{2}px+2mx+p)$
J'ai verifier à la calculatrice et c'est bien ça. Ensuite, j'ai cherché à resoudre 2f'(x)+f(x). J'ai donc fait : $2f′(x)+f(x)=2[e−x2(−12mx2−12px+2mx+p]+[e−x2(mx2+px)]2f'(x)+f(x)=2\left[e^{\frac{-x}{2}}(-\frac{1}{2}mx^{2}-\frac{1}{2}px+2mx+p \right]+\left[e^{\frac{-x}{2}}(mx^{2}+px )\right]$
$↔2f′(x)+f(x)=2[e−x2(−12mx2+mx2−12px+px+2mx+p)]\leftrightarrow 2f'(x)+f(x)=2\left[e^{\frac{-x}{2}}(-\frac{1}{2}mx^{2}+mx^{2}-\frac{1}{2}px+px+2mx+p) \right]$
A partir de là, je n'arrive pas a identifié m et p, en parti parce que je ne sais pas comment distribuer 2.
Merci de m'aider.

La dernière ligne est fausse. Vérifie tes calculs.
Mets juste l'exponentielle en facteur.

Oui, c'est ce que je voulais faire. Je vais verifier. Merci

Donc, j'ai refait mes calcul, et maintenant, j'arrive à : $2f′(x)+f(x)=e−x2(4mx+2p)2f'(x)+f(x)=e^{\frac{-x}{2}}(4mx+2p)$
Donc $m=14etp=12m=\frac{1}{4} et p=\frac{1}{2}$
C'est bien ça?

C'est correct.