Determination de deux inconnues : équation différentielle


  • N

    Bonjour,
    J'ai un exercice sur les équations différentielles à résoudre mais une questions intermédiaire me pose problème, je suis donc bloquée pour la suite. Voilà l'énoncé :
    Déterminer deux réels m et p tels que la fonction definie sur R par f(x)=e−x/2(mx2+p)f\left(x \right)=e^{-x/2}(mx^{2}+p)f(x)=ex/2(mx2+p) soit solutions de (E') avec (E') : 2y′+y=e−x/2(x+1)2y'+y = e^{-x/2}(x+1)2y+y=ex/2(x+1)
    Comme f est solution de (E'), j'ai donc remplacé y et y' par f(x) et f'(x). J'ai calculé f'(x) egalement. Je cherche maintenant a calculé 2f'(x)+f(x) pour pouvoir faire l'indentification. Mais ce que je trouve est très compliqué et je n'arrive pas a simplifié. Comment faire?


  • N
    Modérateurs

    Bonjour Nora,

    Indique tes calculs.


  • N

    Oui, c'est ce que je venais faire après m'être rendu compte que j'avais oublié! 😕
    J'ai commencé par calculé f'(x) : f′(x)=(−12e−x/2)(mx2+px)−(2mx+p)(e−x/2)(mx2+px)2f'(x) =\frac{(\frac{-1}{2}e^{-x/2})(mx^{2}+px)-(2mx+p)(e^{-x/2})}{(mx^{2}+px)^{2}}f(x)=(mx2+px)2(21ex/2)(mx2+px)(2mx+p)(ex/2)
    Ensuite, j'ai remplacé ces valeurs dans 2f'+f et j'arrive à :
    f′(x)+f(x)=2∗((e−x/2)(mx2+px−2mx+p−1+(mx2+px)3(mx2+px)f'(x)+f(x) = 2*(\frac{(e^{-x/2})(mx^{2}+px-2mx+p-1+(mx^{2}+px)^{3}}{(mx^{2}+px)}f(x)+f(x)=2((mx2+px)(ex/2)(mx2+px2mx+p1+(mx2+px)3
    est-ce que je peux simplifié (mx2+px)3(mx2+px)2\frac{(mx^{2}+px)^{3}}{(mx^{2}+px)^{2}}(mx2+px)2(mx2+px)3?
    Voilà ou j'en suis. Merci de m'aider


  • N
    Modérateurs

    Le terme (mx² +p) est au dénominateur ?


  • M

    Bonjour, désolé d'intervenir : en plus, c'est mx² + p ou mx² + px ?
    Parce que dans le premier cas il n'y a pas de solution.


  • N

    Je me suis trompé en recopiant, au dénominateur, on trouve bien : (mx2+px)2(mx^{2}+px)^{2}(mx2+px)2
    Je me suis également trompé dans mon tout premier message : f(x)=e−x/2(mx2+px)f(x) = e^{-x/2}(mx^{2}+px)f(x)=ex/2(mx2+px) et non pas p !
    Je suis desolé pour ces erreurs !


  • M

    C'est bien e−x/2e^{-x/2}ex/2 multiplié par (mx²+px) ?
    Dans ce cas, ta dérivée est fausse : il n'y a pas de dénominateur.


  • N
    Modérateurs

    Pourquoi il apparait un dénominateur lors du calcul de la dérivée ?

    Tu appliques (UV)' = U'V + UV'

    Attention au signe lors du calcul de 2y' + y.


  • N

    Mais oui bien sur, je suis bête ou alors j'avais la tête ailleurs en faisant ça. J'ai appliqué (uv)′\left(\frac{u}{v} \right)'(vu) par habitude !
    Merci beaucoup pour votre aide, ça sera plus facile maintenant.


  • N

    Effectivement, determiner la derivée etait plus simple, mais je bloque toujours. Pour f'(x), j'ai trouvé : f′(x)=e−x2(−12mx2−12px+2mx+p)f'(x)=e^{\frac{-x}{2}}(\frac{-1}{2}mx^{2}-\frac{1}{2}px+2mx+p)f(x)=e2x(21mx221px+2mx+p)
    J'ai verifier à la calculatrice et c'est bien ça. Ensuite, j'ai cherché à resoudre 2f'(x)+f(x). J'ai donc fait :2f′(x)+f(x)=2[e−x2(−12mx2−12px+2mx+p]+[e−x2(mx2+px)]2f'(x)+f(x)=2\left[e^{\frac{-x}{2}}(-\frac{1}{2}mx^{2}-\frac{1}{2}px+2mx+p \right]+\left[e^{\frac{-x}{2}}(mx^{2}+px )\right]2f(x)+f(x)=2[e2x(21mx221px+2mx+p]+[e2x(mx2+px)]
    ↔2f′(x)+f(x)=2[e−x2(−12mx2+mx2−12px+px+2mx+p)]\leftrightarrow 2f'(x)+f(x)=2\left[e^{\frac{-x}{2}}(-\frac{1}{2}mx^{2}+mx^{2}-\frac{1}{2}px+px+2mx+p) \right]2f(x)+f(x)=2[e2x(21mx2+mx221px+px+2mx+p)]
    A partir de là, je n'arrive pas a identifié m et p, en parti parce que je ne sais pas comment distribuer 2.
    Merci de m'aider.


  • N
    Modérateurs

    La dernière ligne est fausse. Vérifie tes calculs.
    Mets juste l'exponentielle en facteur.


  • N

    Oui, c'est ce que je voulais faire. Je vais verifier. Merci


  • N

    Donc, j'ai refait mes calcul, et maintenant, j'arrive à :2f′(x)+f(x)=e−x2(4mx+2p)2f'(x)+f(x)=e^{\frac{-x}{2}}(4mx+2p)2f(x)+f(x)=e2x(4mx+2p)
    Donc m=14etp=12m=\frac{1}{4} et p=\frac{1}{2}m=41etp=21
    C'est bien ça?


  • N
    Modérateurs

    C'est correct.


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