Démontrer une conjecture de l'expression d'une suite par récurrence

Bonsoir,
Donc j'aurais besoin de votre aide pour cette expression.

On a Un = (1-1/2²)(1-1/3²)(1-1/4²).... (1-1/n²)
Je trouve comme conjecture un = (n+1)/2n.

Je n'arrive pas à démontrer cette conjecture par récurrence.

Pouvez vous m'aider s'il vous plait.
Merci beaucoup.

Bonsoir,

Calcule $U_{n+1}$

bonsoir
Un+1 = (1-1/2²)(1-1/3²)(1-1/4²)(1-1/p+1²)
un+1 = up(1-1/p+1²)
un+1 = (p+1/2p)*(1-1/p+1²)
qu'en pensez vous ?

Simplifie cette expression.

ok je poursuis :
un+1 = p-p +1-1/2p(p+1)²
je n'arrive pas à simplifier !
j'ai du mal

Mets des parenthèses pour facilité la lecture :
(p+1)/(2p)*(1-1/(p+1)²) =

(p+1)/(2p)*((p+1)²-1)/(p+1)² =
....

je trouve :
un+1= (p^3+3p²+2p)/(2p^3+4p²+2p) c'est bizare comme résultat?

Ne développe pas :
(p+1)/(2p)*((p+1)²-1)/(p+1)² =
(p+1)(p(p+2)/[2p(p+1)²]

à simplifier

Bonjour,

En attendant queNoemi soit là , regarde ton calcul CANAILLE

**CANAILLE ,
tu devrais éviter les confusions entre n et p

Je pense que , pour les récurrences , ton professeur suppose la propriété vraie pour n=p et la démontre pour n=p+1**

Tu supposes donc que $\fbox{u_p=\frac{p+1}{2p}}$ et tu veux démontrer que $\fbox{u_{p+1}=\frac{p+2}{2(p+1)}}$

$up+1=p+12p.(1−1(p+1)2)u_{p+1}=\frac{p+1}{2p}.(1-\frac{1}{(p+1)^2})$

En réduisant au même dénominateur :

$up+1=p+12p.((p+1)2−1(p+1)2)u_{p+1}=\frac{p+1}{2p}.(\frac{(p+1)^2-1}{(p+1)^2})$

En remplaçant (p+1)² par (p²+2p+1) et en simplifiant :

$up+1=p+12p.((p2+2p(p+1)2)u_{p+1}=\frac{p+1}{2p}.(\frac{(p^2+2p}{(p+1)^2})$

$up+1=p+12p.((p(p+2)(p+1)2)u_{p+1}=\frac{p+1}{2p}.(\frac{(p(p+2)}{(p+1)^2})$

$up+1=p+12(p).(p(p+2)(p+1)(p+1))u_{p+1}=\frac{p+1}{2(p)}.(\frac{p(p+2)}{(p+1)(p+1)})$

Comme te l'a ditNoemi , il te reste simplement à simplifier ( numérateur avec dénominateur ) par p et par (p+1) pour obtenir la réponse voulue , c'est à dire :
$up+1=p+22(p+1)u_{p+1}=\frac{p+2}{2(p+1)}$