Démontrer une égalité trigonométrique avec cosinus et sinus

Bonjour ,

J'ai un exercice dont je comprend la consigne mais je ne sais par ou commencer :
Démontrer que l'équation cos(2x)=2sin(x)-2 admet deux solutions alfa et beta sur l'intervalle [0;pi] dont on donnera un encadrement d'amplitude 10^-2.
Donc voilà j'ai commencer par regrouper tous les membres d'un côter de l'égalité mais ca ne m'as mener a rien , alors je suis un peu perdu , pourriez vous me donner des pistes pour que je puisse me lancer svp ?
Merci beaucoup par avance

Bonjour,
Transforme cos(2x) en fonction de sin x.

Bonjour ,
Comment ca en transformant cos(2x) en fonction de sin(x) vous voulez que je dérive ? Je ne comprend pas comment pouvoir transformer l'un en l'autre merci de votre réponse

Les formules de duplication : cos(2x) = 1 -...

Ah oui oui donc on trouve que 1-sin(2x)=2sin(x)-2 est ce ça ?

Non.

Revois les formules :
cos (2x) = cos² x - sin² x = 2cos² x - 1 = 1 - ...

Bonjour ,

Une petite piste pour l'idée générale de l'exercice , si besoin.

Poser f(x)=cos(2x)-2sinx+2

Calculer f'(x) et le factoriser au mieux pour trouver son signe ( penser à transformer sin(2x) avec formule de duplication ) .

Sur [0,π] , étudier les variations de f

Avec le Théorème des valeurs intermédiaires ( c'est le but de l'exercice ) , par intervalle , justifier l'existence de 2 valeurs α et β pour lesquelles f(x)=0

Trouver les valeurs approchées de α et β à la calculette.

marjo, redemande si tu n'y arrives pas . Nous t'aiderons , bien sûr.

Bonsoir , merci beaucoup à vous deux déjà de me répondre et de m'aider . En ce qui concerne le but de l'exo j'avais compris qu'il fallait faire intervenir le tvi mais le problèmes c'est que je ne comprend pas vos étapes avec les formules de duplication je suis désoler vous devez me prendre pour une fille bête Lol mais je comprend vraiment pas merci encore

La méthode que je te proposais est différente de celle de Mtschoon.
Tu as cos(2x) = 1 -2.sin² x
D'où 2.sin² x + 2.sin x -3= 0
C'est une équation du second degré en X = sin x, que tu sais résoudre de façon élémentaire.
Bien sûr, X = sin x ne peut pas prendre n'importe quelle valeur.

Oui j'ai vu ça mais vos deux méthodes m'intéresse car elle le permette de voir qu'on peut résoudre cet eco de deux façons mais j'ai un soucis toujours avec votre Formule de duplication , pourriez vous m'écrire les étapes supplémentaire parce que depuis tout à l'heure j'essaye de le refaire mais je n'arrive pas à retrouver la même chose que vous cependant j'ai obtenu le tableaux de variations le problème c'est qu'avec ce que j'ai obtenu (c'est à dire croissante puis décroissante ) je ne trouve qu'une seule valeur pour l'équation f(x)=0

Les formules sont dans le cours.
Tu connais sans doute celle-ci :
cos(a+b) = cos a.cos b - sin a.sin b
Pour a=b, on obtient :
cos 2a = cos² a - sin ² a
Or, cos² a + sin ² a = 1, donc cos² a = 1 - sin² a
Il vient donc cos 2a = 1 - sin² a - sin² a = 1 - 2.sin² a

Concernant l'autre méthode, tu dois avoir commis une erreur.
Quelles sont les valeurs intervenant dans ton tableau ?

Ah oui je suis d'accord avec vous jusqu'à la je comprend , mais je me retrouve encore bloquer parce que avec votre égalité cos(2a)=1-2sin au carré (a) je ne retrouve pas legalite finale que vous m'avez dis soit 2sin au carrée (x) +2sin(x)-3:/

Ton équation :
cos(2x)=2sin(x)-2
⇔ 1-2sin² x = 2sin x -2
⇔0 = -1 + 2sin² x + 2sin x - 2
⇔ 0 = 2sin² x +2sinx - 3 ?
⇔ 0 = 2X² +2X -3 en posant X = sin x

As-tu vu ? j'ai rajouté un PS à mon précédent message.

Autant pour moi je suis désoler javais pas compris la tout va bien c'est bonn j'ai compris le début Bin écoutez ma dérive cest 4x+2 et de ce faut je trouve une seule racine -1/2 et je pense que c'est à partir de la sûr ça doit clocher parce que pour trouver deux solutions à l'équation f(x)=0 il me faudrait deux racines logiquement

Attention : tu mélanges les deux méthodes.
La fonction f(x) fait appel aux fonctions trigonométrique.
La dérivée utilise des sinus et des cosinus.

L'autre méthode, l'équation du second degré en X, est facilement résoluble (discriminant).

Oh oui je ne m'en été pas rendu compte ! Alors voilà je vient de calcular delta je trouve deux racines mais le problème c'est est ce que l'on peut calculer delta sur la fonction simple ? C'est pas avec sa derive , de façon à connaître de sens de variation de la fonction par la suite ?

Ce sont deux méthodes nettement différentes. Ne les mélanges pas.
Continue avec ton delta.
Quelles sont les deux racines en X ?

Ah d'accord , alors j'ai trouver (-1+racine de 7 )/2 et (-1- racine de 7)/2 est ce correct jusqu'à la ?:)

Oui, mais il ne faut pas oublier que X = sin x. Donc X doit être compris entre 0 et 1 ( car x est entre 0 et pi).
L'une des deux racines doit donc être rejetée.

Ah oui c'est vrai donc je peux éliminer (-1+racine de 7)/2 maintenant on peut dire que f(x) est négatif puis positif non ?

Laisse f(x) tranquille !
(-1+√7)/2 ≈0.82...
(-1 -√7)/2 ≈-1.82...
C'est donc celle-là qu'il faut éliminer et non la première qui est bien comprise entre 0 et 1.
Mais tu as quand même deux solutions :
sinx ≈0.82... (garde tous les chiffres de ta calculatrice) fournit deux angles.
Attention si ta calculatrice n'est pas réglée en radians : si elle est réglée en degrés, tu devras convertir.

Je dois maintenant me déconnecter.
Quelqu'un d'autre va peut-être prendre le relais, sinon A+

Je trouve un angle égal à 0,96 radian Il doit y avoir un pb non ?

Rebonsoir,

marjo , tu as écrit en titre " fonction trigonométrique" , alors j'ai suggéré le travail par l'étude d'une fonction trigonométrique ( et le Théorème des valeurs intermédiaires , qui est dans l'esprit BAC S ) mais bien sûr , la résolution d'une équation se ramenant au second degré ( comme en 1 S ) , comme te l'a expliqué mathtous est très bien aussi .

Tu as le choix ; tout dépend ce que tu cherches et surtout ce que traîte ton professeur en ce moment.

D'accord bonne soirée et merci pour votre aide

Re bonsoir,
Bin voilà ce que m'inquiète une peu c'est que je suis en train de traiter le TVI en cours donc je pense qu'il est mieux que je chosise votre méthode si ça vous dérange pas de m'expliquer

Nos réponses se sont croisées.

0.96 radians est bon ( pense que ∏ ≈ 3,14 )
Plus précisemment 0.96 < α < 0.97

Tu dois trouver un autre angle de valeur β

2.17 < β < 2.18

Mais le problème avec cette réponse c'est que je ne fais pas intervenir le théorème des valeurs intermédiaires non ? Alors que pour ma prof c'etait son but de nous faire travailler sur ça même si je vous avoue que je comprend quand même clairement ce raisonnement

Je m'en doutais bien ...vu que tu es en Terminale , que c'était "un coup de TVI" ...

Je te donne les gros principes

f(x)=cos(2x)-2sinx +2

f'(x)=-2sin(2x)-2cosx

f'(x)=-2(2sinxcosx)-2cosx

f'(x)=-2cosx(2sinx+1)

Sur [0,∏] , tu cherches le signe de chaque facteur de la dérivée puis de f'(x)

Tu en déduis les variations de f puis tu utilises le TVI.

Oui voilà ça colle plus à la leçon en tout cas merci beaucoup je dois allez manger je vais le déconnecter , demain j'essayerai ce que vous m'avez dis , su je n'y parvient pas si ça vous dérange pas je vous poserais encore et toujours mes problèmes lol ! Merci déjà d'avoir pris du temps pour m'expliquer tout ça bonne soirée

OK , à demain si tu as besoin.

Re bonjour ,
Voila je viens de faire ce que vous m'avez dis j'ai obtenu mon tableau de variation . Seul probleme aucune solution de f(x)=0 n'est possible dans mon tableau
Je vous montre ce que j'ai fais comme ca vous pouvez me dire ou se trouve mon erreur svp
la dérivé est f(x)'=-2cos(x)[2sin(x)+1]
Il faut donc étudier le signe de chaque membres :

cos(x)=0 $↔\leftrightarrow$ x=π/2 ou -π/2 mais vu qu'on est dans [0;π] alors x=π/2
ensuite -2<0 donc le signe -2cos(x) est - sur [0;π/2] et + sur [π/2;π]

pour l'autres membres maintenant :
sin(x)=0[tex]\Leftrightarrow[/tex] x=0 ou x=π
2>0 et 1>0 donc le signe de 2sin(x)+1 est + sur [0;π]

Donc f'(x) est - sur [0;π/2] et + sur [π/2;π] par conséquent f(x) est négatif puis positif le probleme c'est que toutes mes images sont négative donc aucune possibilité de trouver une solution pour f(x)=0

Merci d'avance pour m'éclairer sur mon erreur

OK pour les variations de f

Je pense que c'est le TVI dont tu n'as pas compris l'usage.

Sur [0,∏/2] f est dérivable don continueet strictement décroissante.
De plus f(0)=3 donc f(0) > 0 et f(∏/2)=-1 donc f(∏/2) < 0

TVI :

Il existe une valeur unique α comprise entre 0 et ∏/2 telle que f(α)=0

( Le TVI ne te donne pas la valeur exacte de α , mais seulement son EXISTENCE , ce qui est suffisant vu que l'on te demande seulement une valeur approchée que tu détermines à la calculette ).

Tu traîtes de la même façon le cas **[∏/2 , ∏]**pour prouver l'existence de β telle que f(β)=0 et tu détermines une valeur approchée de β à la calculette.

( Remarque : tu peut tracer la représentation graphique de f sur ta calculette pour mieux réaliser , avec x appartenant à [0,∏]
α et β sont les abscisses des points d'intersection de la courbe avec l'axe des abscisses )

Oui oui je compte assez bien ça mon soucis je pense c'est que je trouve f(0)=-1 et f(pi/2)=-5 et c'est la que ça bloque parce sur du coup 0 n'est pas compris entre -5 et -1 on calcule bien les image avec -2cos(x)[2sin(x)-1] ? Merci d'avance

Eventuellement , fais le cercle trigonométrique , positionne l'angle considéré et le point sur le cercle : le cosinus correspond à l'abscisse et le sinus à l'ordonnée

cos0=1 et sin0=0 donc f(0)=cos0-2sin0+2=1+2=3

cosΠ=-1 st sin(Π/2)=1 donc f(Π/2)=cosΠ-2sin(∏/2)+2=-1-2(1)+2=-1-2+2=-1

Autant pour moi je metter tromper dans mes calculs voilà c'est parfait hé suis arriver à la fin c'est parfait merci pour tout et désoler d'accord été aussi longue à comprendre

L'essentiel est que tu aies compris !

J'espère que pour f(∏) tu as trouvé 3 .

Bon devoir !

Oui oui j'ai trouver 3 aussi ! Oui c'est pour ça c'est bien ça m'a permis de comprendre comment procéder car sans votre aide j'y serait pas arriver c'est sur , merci