Vecteurs et hyperbole

Bonjour,

Je n'arrive pas à résoudre l'exercice suivant, si quelqu'un peut m'aider ^^

Citation
On considère un repère orthonormé(0, i, j).

Soit (H) l'hyperbole d'équation y = 1 / x.

Soit A et B deux points distincts de (H). La droite (AB) coupe les axes du repère en P et Q. Démontrer que les segments [AB] et [PQ] ont le même milieu.

Merci

Bonjour yowan,

Détermine les coordonnées des points A, B, P et Q.
A (x1 ; 1/x1)
B ....

puis du milieu de [AB] et [PQ]

Noemi
Bonjour yowan,

Détermine les coordonnées des points A, B, P et Q.
A (x1 ; 1/x1)
B ....

puis du milieu de [AB] et [PQ]

Merci pour ta réponse.

J'ai bien compris que si on prouve que [AB] et [PQ] ont le même milieu, alors c'est gagné, cependant comment le prouver ? Car dire que
A (xa, 1/xa)
B (xb, 1:xb)
P(0, yp)
Q(xq, 0)

ne me sert pas beaucoup pour prouver que les droites ont le même milieu je le crains :rolling_eyes:

Cherche l'équation de la droite (AB)
puis exprime xq et yp en fonction de xa et xb.

Je ne vois pas comment trouver l'équation vu qu'on ne connaît les valeurs de xa et xb...
Et comment exprimer yp et xq en fonction de xa et xb ?

Tu as les coordonnées de deux points, certes en fonction de xA et xB, donc tu peux écrire l'équation de la droite (AB);

Puis tu appliques le fait que les points P et Q appartiennent à cette droite.

Donc l'équation de la droite serait
y = -1/(xa*xb) * x + (1/xa)(1 - 1/xb)

et
yp = (1/xa)(1 - 1/xb)

et
xq = 0 <=> 0 = -1/(xa*xb) * x + (1/xa)(1 - 1/xb)

J'ai donc l'équation de la droite, et j'ai exprimé yp et xq en fonction de xa et yb, mais maintenant je ne vois pas quoi faire...

Vérifie l'équation de la droite (AB), seul le coefficient directeur est juste.

Autant pour moi,
y = -1/(xaxb) * x + 1/xa + 1/xb
xp = 0 <=> yp = 1/xa + 1/xb
yq = 0 <=> 0 = -1/(xaxb) * xq + (1/xa)(1 - 1/xb)

Une erreur pour xq
0 = -1/(xa*xb) * xq + 1/xa + 1/xb
soit xq = xa + xb

Calcule les coordonnées du milieu des segments.

Merci j'ai fini par trouvé grâce à ton aide

Merci beaucoup !!! Bonne soirée

Bonne soirée.

bonjour !
J'ai aussi cet exercice à faire, mais je n'arrive pas à déterminer l'équation de (AB)
J'ai d'abord essayée avec l'équation cartésienne, mais je trouve quelque chose de très compliqué : $yxb−yaxb−yxa+xaya−xyb+xya+xayb−xaya=0yxb-yaxb-yxa+xaya-\frac{x}{yb}+\frac{x}{ya}+\frac{xa}{yb}-\frac{xa}{ya}=0$
comme je n'arrivais pas trouver où je me suis trompée, j'ai essayée de déterminer l'équation de (AB) du type y=mx+p
Mais j'obtient aussi quelque chose de bizarre, dont je n'arrive pas on plus a me dépatouiller... $ya=1x+\frac{1-(xa^{2})}{xa}$

Est ce que quelqu'un pourrait m'aider s'il vous plait ? Merci

Bonjour cannellita,

La réponse à ta question est indiquée dans le sujet.
Indique tes calculs.

alors pour l'équation cartésienne :
A ( xA ; 1/xA )
B (xB ; 1/xB )
soit M ( x ; y )
on a vecteur AB ( xB-xA ; 1/xB-1/xA )
et vecteur AM ( x-xA ; y-yA )

M∈(AB) ⇔ vecteur AB et AM colinéaires
⇔ ( xB-xA ) ( y - yA ) - ( x-xA ) ( 1/yB - 1/yA ) = 0
⇔ $yxb−yaxb−yxa+xaya−xyb+xya+xayb−xaya=0yxb-yaxb-yxa+xaya-\frac{x}{yb}+\frac{x}{ya}+\frac{xa}{yb}-\frac{xa}{ya}=0$

Pour l'équation réduite :
A et B sont deux points distincts donc xA ≠ xB donc (AB) n'est pas parallèle à (Oy) et admet une équation résuite du type y=mx+p avec
m = ( yB - yA ) / ( xB - xA )
= ( 1/xB - 1/xA ) / (xB - xA )
= ( xB - xA ) / ( xB - xA )
= 1
d'où (AB) : y = 1x+p
A∈(AB) donc yA = 1xA + p
d'où 1/xA = 1xA + p
d'où p = 1/xA - 1xA
d'où p = 1/xA - xA²/xA
d'où p = $1−(xa2)xa\frac{1-(xa^{2})}{xa}$

Donc $ya=1x+\frac{1-(xa^{2})}{xa}$

Rectifie le calcul de m :
m = ( yB - yA ) / ( xB - xA )
= ( 1/xB - 1/xA ) / (xB - xA )
= ( xA - xB ) /xAxB ( xB - xA )
= ......

bonjour !
je ne comprend pas la dernière ligne ...
Pourquoi (xB - xA) se transforme en (xA - xB) ?
Et du coup en dessous de la barre de fraction on a xAxB (xB-xA) ?

( 1/xB - 1/xA ) =

réduis cette expression au même dénominateur.