Variations de fonctions et problèmes



  • Bonjour, j'aurai besoin d'aide pour un dm qui me pose problème:

    Dans un grand cercle de diamètre 10 cm, on trace deux cercles tangents; on note x le diamètre, en cm, de l'un des deux cercles. Le deuxième cercle, qui est le plus grand des deux, a pour diamètre EG (E étant l'extrémité droite du diamètre du premier cercle), le point H est le milieu de EG, et F un point du segment EG.

    f est la fonction qui à x associe l'aire, en cm², du domaine blanc (=les deux cercles tangents).

    a) Quel est l'ensemble de définition de f?

    Ma réponse: Le grand cercle a pour diamètre 10 cm, donc chacun des deux cercles peut avoir un diamètre inférieur ou égal à 10 cm.
    Donc l'ensemble de définition de f est sur x∈ [0;10].

    b) Donner l'expression algébrique de f(x).

    Ma réponse: Diamètre du cercle 1 ou 2= x ou 10-x
    Donc, rayon cercle 1 ou 2= 1/2 x ou 5-1/2 x
    Puisque l'aire d'un cercle est égale à πr2:
    f(x)= (π×x×2)+(π×(10-x)×2)

    Je ne suis vraiment pas sûr qu'il faut faire ce genre de calculs mais je n'arrive pas à trouver autre chose. Est-ce que vous pourriez me donner une piste? Et est-ce que les points donnés dans l'énoncé peuvent-être utiles?



  • Pardon, je voulais marquer:
    f(x)= (π×1/2x×2)+(π×5-1/2x×2)
    f(x)=xπ+π×(10-x)
    f(x)= π(x-x+10)
    f(x)=10π
    Mais ce n'est pas une expression algébrique.


  • Modérateurs

    Bonsoir ordimath,

    Vérifie ton calcul, l'aire d'un cercle πr²
    Le carré ?



  • J'ai trouvé:
    f(x)=(π×1/2x)²+(π×(5-1/2x))²
    f(x)≈2,5x+(5π-π1/2x)²
    f(x)≈2,5x+(π9/2x)²
    f(x)≈2,5x+200x
    f(x)≈202,5x
    Est-ce juste?


  • Modérateurs

    Non,

    Pourquoi (π*1/2x)² ?
    f(x) = π(x/2)² + π[(10-x)/2]²
    à simplifier



  • x et (10-x) sont les diamètre des deux cercles et pas les rayons.


  • Modérateurs

    Exact :
    f(x) = π(x/2)² + π[(10-x)/2]²
    = ...



  • D'accord, j'ai trouvé: f(x)=π 2/4x²-5x+25.
    Mais qu'est-ce que je fais du π? Parce que après je dois entrer la formule dans une calculatrice pour faire un graphique.


  • Modérateurs

    Tu peux simplifier 2/4 = 1/2

    Pour la calculatrice, tu écris la fonction avec π;
    Quelle est la question sur le graphique ?



  • D'accord, pour la simplification. Et pour le graphique il s'agit juste de trouver le minimum de f et j'ai réussi à tracer la courbe. Merci beaucoup pour votre aide 🙂



  • Par contre une dernière question, est-ce normale de marquer: Ymax=150 pour que l'aire selon f(x) soit visible pour x=10?


  • Modérateurs

    Pourquoi 150 ? 80 semble suffisant.



  • Dans ce cas là, dès que je dépasse x=8 la courbe n'est plus visible.



  • C'est bon je viens de comprendre mon erreur j'avais oublié des parenthèses.



  • Je beugue pour la dernière question:
    Vérifier que f(x)-f(5)=(π/2) (x-5)²

    Ma réponse: f(x)-f(5)=f(x)-π[(1/2)×5²-5×5+25]
    =f(x)-π(25/2-25+25)
    =f(x)-(25/2)π
    =π[(1/2)x²-5x+(25/2)]
    =(π/2) (x²-5x+25)
    Or pour arriver au bon résultat il aurait fallut x²-10x+25


  • Modérateurs

    L'erreur est juste à la fin :
    =π[(1/2)x²-5x+(25/2)]
    = π/2(x² - 10x + 25)



  • D'accord merci beaucoup pour votre aide!! 🙂


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