DM équations différentielles


  • A

    salut ! alors voila j'ai un dm en deux parties (deux exo), dont voici la partie 1 :

    Le taux d'alcoolémie f(t) (exprimé en g.L^-1) d'une personne ayant absorbé à jeun une certaine quantité d'alcool vérifié sur [0;+infini[ l'équation différentielle :
    (E) y' + y = ae^-t.

    où t est le temps (exprimé en heures) écoulé âprès l'ingestion et a une constante qui dépend des conditions expérimentales.

    1)a) On pose pour tout t [0;+infini[ , g(t) = f(t)e^t.
    Démontrer que la fonction g' est constante égale à a.

    -> j'ai dérivé g'(t) et trouvé et(ae^-t) = a donc g'(t)=a.

    b) On admet que pour tout t [0;+infini[ , g(t)=at+b.
    Que vaut b?

    -> Comme g(t)=at+b, b = g(0) = f(0) dont c'est l'ordonnée à l'origine (donc avec t=0).
    C'est la quantité d'alcool absorbé?

    1. Exprimer f(t) en fonction de t et de a.

    -> Comme g(t)=at+b at+b=f(t)e^t f(t) = (at+b)/e^t
    C'est bon?

    1. On prend maintenant a=6
      a) Etudier le sens de variation de f et tracer sa courbe représentative à l'écran de la calculatrice.

    b) Déterminer le taux d'alcoolémie maximal et le temps au bout duquel il est atteint.

    c) Lire sur l'écran de la calculatrice une valeur approchée du délai T au bout duquel le taux d'alcoolémie de cette personne est inférieure à 0.5 g.L^-1.

    merci de votre aide!


  • mtschoon

    Bonsoir ,

    OK pour la 1)a)

    Pour la 1)b) OK pour b=g(0)=f(0)

    Mais , dans l'énoncé , n'as-tu pas f(0)=0 ? c'est bizarre car sans connaître b tu ne pourras pas continuer ton exercice .


  • A

    Non ce n'est pas écrit ca. Mais pour dérivé, si b est constant, alors on s'en fiche non?


  • mtschoon

    Pour la dérivée , oui...mais pas pour lasuite.

    Au 2) on te demande d'exprimer f(t) en fonction de t et de a ( pas de b )

    Au 3) on te demande de représenter f avec f(t)=(6t+b)e−tf(t)=(6t+b)e^{-t}f(t)=(6t+b)et alors...sans prendre f(0)=0 ( ce qui est le plus "cohérent" ) tu ne peux pas poursuivre...


  • A

    donc si b=0 c''est bon? je l'admet?


  • mtschoon

    Tu ne peux visiblement rien faire d'autre...dommage que ce ne soit pas précisé dans l'énoncé...

    Tu peux peut-être expliquer qu'à l'instant t=0 , la personne vient d'absorber une certaine quantité d'alcool , mais aucune durée ne s'étant écoulée après l'ingestion , l'alcool n'a pas eu le temps d'être absorbée par l'organisme donc le taux d'alcolémie observé à cet instant ne peut être que nul .


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