Fonction : écritures avec des radicaux



  • Hello a tous, j'aurais besoin d'un peu d'aide, voir beaucoup, je suis complètement largué sur une question de mon DM.
    J'ai beau chercher dans mes cours, ou sur mon livre, voir internet, je ne trouve absolument rien.
    Le voici.

    Je dois démontrer que pour tout x appartenant à [1 ; + L'infini[ , on a :

    2x+1+x1\frac{2}{\sqrt{x+1}+\sqrt{x-1}}

    Merci d'avance pour vos réponses.


  • Modérateurs

    Salut Saioji,

    Peux-tu recopier ton énoncé correctement, il manque vraisemblablement quelque chose dans ta formule (comme <1 par exemple) ?


  • Modérateurs

    Bonjour , ta question n'est pas claire...

    Si tu veux justifier que l'expression existe pour x ∈]1,+∞[ :

    Conditions d'existence : x+1>0 ET x-1>0 , c'est à dire x>-1 ET x>1

    La partie commune à ]-1,+∞[ et ]1,+∞[ est ....................

    Reposte si ce n'est pas la question.



  • Oui on m'avait demandé de justifier l'ensemble de définition ( [1,+L'infini[

    x+1>0 et x-1>0
    x>-1 et x>1
    Donc on pouvait en déduire l'ensemble de def, [1;+L'infini.[

    Juste après cette question, on me demande celle posté juste en haut. On ne me donne pas grand chose a part ça.
    Je vois vraiment pas comment je pourrais faire..


  • Modérateurs

    La partie commune à ]-1,+∞[ et ]1,+∞[ est ]1,+∞[

    L'ensemble de définition de la fonction considérée est donc ]1,+∞[

    Si tu as une autre question sur ce sujet , précise la clairement.



  • Ensuite, on me demande de démontrer que pour tout x appartenant à [1 ; + L'infini[ , on a :

    $\frac{2}{\sqrt{x+1}+\sqrt{x-1}$

    C'est là que je bloque.


  • Modérateurs

    Ce que tu écris est incomplet...il doit y avoir une fonction écrite dans ton énoncé AVANT celle que tu donnes ...sinon ça n'a pas de sens...

    Remarque : fais attention au sens du crochet x∈]1,+∞[



  • C'est tout ce que me donne l'exo.

    La première fonction au début, et celle de ma question.

    La première au tout début : f(x) = x+1x1\sqrt{x+1}-\sqrt{x-1}

    Et celle de ma question où je bloque. f(x) = 2x+1+x1\frac{2}{\sqrt{x+1}+\sqrt{x-1}}

    Rien d'autre..


  • Modérateurs

    Et bien voilà .

    C'est celle du début que tu ne nous avais pas donné !

    Piste : pars de la première formule et multiplie et divise par la quantité conjuguée.

    Rappel : (√a+√b)(√a-√b)=a-b donc.........



  • Je pige pas du tout, tu pourrais m'expliquer en détail ? Je galère depuis pas mal de temps..
    Et je n'ai pas vraiment vu la quantité conjuguée dans mes cours.

    Merci d'avance.


  • Modérateurs

    La quantité conjuguée de √a-√b est √a+√b

    ab=(ab)(a+b)a+b\sqrt a-\sqrt b=\frac{(\sqrt a -\sqrt b)(\sqrt a +\sqrt b)}{\sqrt a+\sqrt b}

    Tu développes le numérateur ( identité remarquable )

    Tu appliques cette méthode aux données de ton exercice.



  • ça y est, j'ai en gros compris, j'suis long à la détente dès fois...

    x+1x1=(x+1x1)(x+1+x1)x+1+x1  =x+1x1x+1+x1\sqrt{x+1}-\sqrt{x-1}=\frac{(\sqrt{x+1}-\sqrt{x-1})(\sqrt{x+1}+\sqrt{x-1})}{\sqrt{x+1}+\sqrt{x-1}} \ \ = \frac{\sqrt{x+1}-\sqrt{x-1}}{\sqrt{x+1}+\sqrt{x-1}}



  • Donc, grâce à ça, je peux répondre à ma question ?


  • Modérateurs

    Non pour le calcul du numérateur .

    Rappel ( identité remarquable )

    (ab)(a+b)=a2b2=ab(\sqrt a - \sqrt b)(\sqrt a +\sqrt b)=\sqrt a^2-\sqrt b^2=a-b

    Applique cela au numérateur de l'expression.



  • 2ème tentative !

    sqrtx+1sqrtx1=(sqrtx+1sqrtx1)(sqrtx+1+sqrtx1)sqrtx+1+sqrtx1  =sqrtx+12sqrtx12sqrtx+1+sqrtx1   =x+1x1sqrtx+1+sqrtx1   =sqrtx+1+sqrtx1sqrt{x+1}-sqrt{x-1}=\frac{(sqrt{x+1}-sqrt{x-1})(sqrt{x+1}+sqrt{x-1})}{sqrt{x+1}+sqrt{x-1}} \ \ =\frac{sqrt{x+1}^2-sqrt{x-1}^2}{sqrt{x+1}+sqrt{x-1}} \ \ \ =\frac{x+1-x-1}{sqrt{x+1}+sqrt{x-1}} \ \ \ =sqrt{x+1}+sqrt{x-1}

    J'ai des doutes pour l'avant-dernière ligne. Je pense que sa pourrait plutôt être x+1-x**+1**
    Et j’espère que je ne me suis pas trompé cette fois


  • Modérateurs

    Effectivement , à l'avant dernière ligne , il manque les parenthèses au numérateur ( et tu n'as pas écrit le dénominateur ) et la dernière ligne est inexacte.

    (x+1)(x1)x+1+x1\frac{(x+1)-(x-1)}{\sqrt{x+1}+\sqrt{x-1}}

    Maintenant , tu supprimes les parenthèses au numérateur .



  • x+1x+1sqrtx+1+sqrtx1  2sqrtx+1+sqrtx1\frac{x+1-x+1}{sqrt{x+1}+sqrt{x-1}} \ \ \frac{2}{sqrt{x+1}+sqrt{x-1}}

    Et on retombe pile poil sur notre fonction, énorme.
    Cette identité remarquable, je vais l'apprendre par coeur je crois !


  • Modérateurs

    Si tu as compris la transformation , tu pourras la retrouver facilement cette égalité , sans l'apprendre par coeur ...!


 

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