Fonction : écritures avec des radicaux
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SSaioji dernière édition par
Hello a tous, j'aurais besoin d'un peu d'aide, voir beaucoup, je suis complètement largué sur une question de mon DM.
J'ai beau chercher dans mes cours, ou sur mon livre, voir internet, je ne trouve absolument rien.
Le voici.Je dois démontrer que pour tout x appartenant à [1 ; + L'infini[ , on a :
2x+1+x−1\frac{2}{\sqrt{x+1}+\sqrt{x-1}}x+1+x−12
Merci d'avance pour vos réponses.
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Salut Saioji,
Peux-tu recopier ton énoncé correctement, il manque vraisemblablement quelque chose dans ta formule (comme <1 par exemple) ?
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mtschoon dernière édition par
Bonjour , ta question n'est pas claire...
Si tu veux justifier que l'expression existe pour x ∈]1,+∞[ :
Conditions d'existence : x+1>0 ET x-1>0 , c'est à dire x>-1 ET x>1
La partie commune à ]-1,+∞[ et ]1,+∞[ est ....................
Reposte si ce n'est pas la question.
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SSaioji dernière édition par
Oui on m'avait demandé de justifier l'ensemble de définition ( [1,+L'infini[
x+1>0 et x-1>0
x>-1 et x>1
Donc on pouvait en déduire l'ensemble de def, [1;+L'infini.[Juste après cette question, on me demande celle posté juste en haut. On ne me donne pas grand chose a part ça.
Je vois vraiment pas comment je pourrais faire..
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mtschoon dernière édition par
La partie commune à ]-1,+∞[ et ]1,+∞[ est ]1,+∞[
L'ensemble de définition de la fonction considérée est donc ]1,+∞[
Si tu as une autre question sur ce sujet , précise la clairement.
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SSaioji dernière édition par
Ensuite, on me demande de démontrer que pour tout x appartenant à [1 ; + L'infini[ , on a :
$\frac{2}{\sqrt{x+1}+\sqrt{x-1}$
C'est là que je bloque.
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mtschoon dernière édition par
Ce que tu écris est incomplet...il doit y avoir une fonction écrite dans ton énoncé AVANT celle que tu donnes ...sinon ça n'a pas de sens...
Remarque : fais attention au sens du crochet x∈]1,+∞[
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SSaioji dernière édition par
C'est tout ce que me donne l'exo.
La première fonction au début, et celle de ma question.
La première au tout début : f(x) = x+1−x−1\sqrt{x+1}-\sqrt{x-1}x+1−x−1
Et celle de ma question où je bloque. f(x) = 2x+1+x−1\frac{2}{\sqrt{x+1}+\sqrt{x-1}}x+1+x−12
Rien d'autre..
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mtschoon dernière édition par
Et bien voilà .
C'est celle du début que tu ne nous avais pas donné !
Piste : pars de la première formule et multiplie et divise par la quantité conjuguée.
Rappel : (√a+√b)(√a-√b)=a-b donc.........
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SSaioji dernière édition par
Je pige pas du tout, tu pourrais m'expliquer en détail ? Je galère depuis pas mal de temps..
Et je n'ai pas vraiment vu la quantité conjuguée dans mes cours.Merci d'avance.
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mtschoon dernière édition par
La quantité conjuguée de √a-√b est √a+√b
a−b=(a−b)(a+b)a+b\sqrt a-\sqrt b=\frac{(\sqrt a -\sqrt b)(\sqrt a +\sqrt b)}{\sqrt a+\sqrt b}a−b=a+b(a−b)(a+b)
Tu développes le numérateur ( identité remarquable )
Tu appliques cette méthode aux données de ton exercice.
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SSaioji dernière édition par
ça y est, j'ai en gros compris, j'suis long à la détente dès fois...
x+1−x−1=(x+1−x−1)(x+1+x−1)x+1+x−1 =x+1−x−1x+1+x−1\sqrt{x+1}-\sqrt{x-1}=\frac{(\sqrt{x+1}-\sqrt{x-1})(\sqrt{x+1}+\sqrt{x-1})}{\sqrt{x+1}+\sqrt{x-1}} \ \ = \frac{\sqrt{x+1}-\sqrt{x-1}}{\sqrt{x+1}+\sqrt{x-1}}x+1−x−1=x+1+x−1(x+1−x−1)(x+1+x−1) =x+1+x−1x+1−x−1
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SSaioji dernière édition par
Donc, grâce à ça, je peux répondre à ma question ?
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mtschoon dernière édition par
Non pour le calcul du numérateur .
Rappel ( identité remarquable )
(a−b)(a+b)=a2−b2=a−b(\sqrt a - \sqrt b)(\sqrt a +\sqrt b)=\sqrt a^2-\sqrt b^2=a-b(a−b)(a+b)=a2−b2=a−b
Applique cela au numérateur de l'expression.
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SSaioji dernière édition par
2ème tentative !
sqrtx+1−sqrtx−1=(sqrtx+1−sqrtx−1)(sqrtx+1+sqrtx−1)sqrtx+1+sqrtx−1 =sqrtx+12−sqrtx−12sqrtx+1+sqrtx−1 =x+1−x−1sqrtx+1+sqrtx−1 =sqrtx+1+sqrtx−1sqrt{x+1}-sqrt{x-1}=\frac{(sqrt{x+1}-sqrt{x-1})(sqrt{x+1}+sqrt{x-1})}{sqrt{x+1}+sqrt{x-1}} \ \ =\frac{sqrt{x+1}^2-sqrt{x-1}^2}{sqrt{x+1}+sqrt{x-1}} \ \ \ =\frac{x+1-x-1}{sqrt{x+1}+sqrt{x-1}} \ \ \ =sqrt{x+1}+sqrt{x-1}sqrtx+1−sqrtx−1=sqrtx+1+sqrtx−1(sqrtx+1−sqrtx−1)(sqrtx+1+sqrtx−1) =sqrtx+1+sqrtx−1sqrtx+12−sqrtx−12 =sqrtx+1+sqrtx−1x+1−x−1 =sqrtx+1+sqrtx−1
J'ai des doutes pour l'avant-dernière ligne. Je pense que sa pourrait plutôt être x+1-x**+1**
Et j’espère que je ne me suis pas trompé cette fois
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mtschoon dernière édition par
Effectivement , à l'avant dernière ligne , il manque les parenthèses au numérateur ( et tu n'as pas écrit le dénominateur ) et la dernière ligne est inexacte.
(x+1)−(x−1)x+1+x−1\frac{(x+1)-(x-1)}{\sqrt{x+1}+\sqrt{x-1}}x+1+x−1(x+1)−(x−1)
Maintenant , tu supprimes les parenthèses au numérateur .
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SSaioji dernière édition par
x+1−x+1sqrtx+1+sqrtx−1 2sqrtx+1+sqrtx−1\frac{x+1-x+1}{sqrt{x+1}+sqrt{x-1}} \ \ \frac{2}{sqrt{x+1}+sqrt{x-1}}sqrtx+1+sqrtx−1x+1−x+1 sqrtx+1+sqrtx−12
Et on retombe pile poil sur notre fonction, énorme.
Cette identité remarquable, je vais l'apprendre par coeur je crois !
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mtschoon dernière édition par
Si tu as compris la transformation , tu pourras la retrouver facilement cette égalité , sans l'apprendre par coeur ...!
