Fonction exponentielle ( limites - sens de variation )
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Bbekoi dernière édition par
Bonsoir,
Je n'arrive pas à resoudre ces questions:
1/ Soient d et g définies sur l'ensemble des nombres réels par
f(x)=x−exf(x)=x-e^xf(x)=x−ex et g(x)=(1−x)exg(x)=(1-x)e^xg(x)=(1−x)exDéterminer les limites de f et g en +00 et en -00
Etudier le sens de variation de chacunes des fonctions f et g sur l'ensemble des nombres réels.Merci d'avance de l'aide
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Bonsoir,
Pistes pour démarrer
Pour f , en +∞ , tu as une indétermination . Mets x en facteur
f(x)=x(1−exx)f(x)=x(1-\frac{e^x}{x})f(x)=x(1−xex)
Ensuite , tu utilises les limites usuelles.
Pour f en -∞ , tu utilises directement les limites usuelles
Pour g en +∞ , tu utilises directement les limites usuelles
Pour g en -∞ , tu développes :
g(x)=ex−xexg(x)=e^x-xe^xg(x)=ex−xex
Ensuite , tu utilises les limites usuelles
Donne nous tes réponses si tu veux une vérification.
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Bbekoi dernière édition par
alors pour f en +00 je trouve
lim x =+00
lim (1-ex/x)= +00donc lim f= +00
en -00 je trouve 0
pour g je ne trouve pas
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Non.
Pour f , en +∞, utilise la transformation que je t'ai indiquée.
x tend vers +∞ , exe^xex/x tend vers +∞
Tu dois trouver la réponsePour f , en -∞, il n'y a pas d'indétermination . Utilise la forme de l'énoncé.
x tend vers -∞ , exe^xex tend vers 0
Tu dois trouver la réponse
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Bbekoi dernière édition par
oui j'ai trouvé ca me fait
lim f en +00= -00
LIM F EN -00= 0LIM G EN +00= -00
lim g en -00 = 0maintenant je dois étudier le sens de variation de chacunes des fonctions f et g sur l'ensemble des nombres réels. je dois dériver ?
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OK pour les limites de g
Pour f , revois la limite en -∞
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Bbekoi dernière édition par
je ne vois pas pour la limite de f en -00, pouvez vous m'aider ?
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Bbekoi dernière édition par
lim f= -00 ?
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Bbekoi dernière édition par
je dois ensuite etudier le sens de variation de chacune des fonctions f et g sur l'ensemble des nombre réels, comment faire ?
ensuite je dois pour tout réel x montrer que h'(x)=1-g(x) sachant que h(x)=f(x)-g(x)
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Ttcjose dernière édition par
Bonsoir
limx→−∞ex=0\displaystyle{\lim_{x\rightarrow -\infty}}e^{x}=0x→−∞limex=0
limx→−∞,f(x)=limx→−∞,x(1−exx)=−∞\displaystyle{\lim_{x\rightarrow -\infty}},f(x) =\displaystyle{\lim_{x\rightarrow -\infty}},x(1-\dfrac{e^x}{x})=-\inftyx→−∞lim,f(x)=x→−∞lim,x(1−xex)=−∞
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Bbekoi dernière édition par
ok merci beaucoup !
je dois ensuite etudier le sens de variation de chacune des fonctions f et g sur l'ensemble des nombre réels, comment faire ? il faut dériver mais je ne trouve pas les formules
ensuite je dois pour tout réel x montrer que h'(x)=1-g(x) sachant que h(x)=f(x)-g(x)
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Ttcjose dernière édition par
f′(x)=1−exf'(x)=1-e^xf′(x)=1−ex
f′(x)=0↔1−ex=0↔x=0f'(x)=0\leftrightarrow 1-e^x=0\leftrightarrow x=0f′(x)=0↔1−ex=0↔x=0
pour x < 0, f'(x) > 0 et par conséquent f est croissante sur ]−∞;0[]-\infty;0[]−∞;0[
Pour x≥0,f′(x)≤0x \geq 0, f'(x)\leq 0x≥0,f′(x)≤0 et donc f est décroissante sur [0;+∞[[0;+\infty[[0;+∞[
Rappel: (uv)′=u′v+v′u(uv)'=u'v+v'u(uv)′=u′v+v′u
Donc g′(x)=−xexg'(x)=-xe^xg′(x)=−xex
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Ttcjose dernière édition par
h(x)=f(x)−g(x)=x+(x−2)exh(x)=f(x)-g(x)=x+(x-2)e^xh(x)=f(x)−g(x)=x+(x−2)ex
donc h′(x)=1+1×ex+ex×(x−2)=1+(x−1)ex=1−(1−x)ex=1−g(x)h'(x)=1+1\times e^x+e^x\times (x-2) =1+(x-1)e^x=1-(1-x)e^x=1-g(x)h′(x)=1+1×ex+ex×(x−2)=1+(x−1)ex=1−(1−x)ex=1−g(x)
du courage....
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Bbekoi dernière édition par
MERCI pour toutes ces réponses
je suis blqoué maintenant car je dois démontrer que les courbes c et c' réprésentant la fonction f(x)=x−exf(x)=x-e^xf(x)=x−ex et g(x)=(1−x)exg(x)=(1-x)e^xg(x)=(1−x)ex admettent un unique point d'intersection dont l'abscisse notée alpha appartient a l'intervalle 1 2 donner un encadrement a 0,1
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Une piste possible
Tu poses h(x)=f(x)-g(x)
Tu étudies les variations de h
Ensuite , sur [1,2] , tu utilises le théorème des valeurs intermédiares
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Bbekoi dernière édition par
Je ne trouve pas les valeurs ou hx s'annule pour les variations de h je ne prends pas la derivée ?
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Oui , pour trouver les variations de h , tu prends la dérivée.
Sur [1,2] , avec le TVI , tu pourras prouver qu'il existe une valeur α telle que
h(α)=0 , c'est à dire f(α)=g(α)Tu trouveras l'encadrement à la calculette.
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Bbekoi dernière édition par
Je trouve pour le signe de la derivée qu'elle est croissante de -00 a +00 donc hx aussi
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Bbekoi dernière édition par
Et pour l'encadrement 1,6 et 1,7
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C'est bon pour l'encadrement de α
Par contre , ce que tu dis précédemment est bizarre.
Il faut que tu prouves que h'(x) est POSITIVE pour prouver que h est croissante.
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Bbekoi dernière édition par
oui j'ai montré que h'(x) est positive et utilisé le ctvi pour montrer qu'il existe un seul point d'intersection
maintenant il me reste seulement à montrer suivant les valeurs de x la position relative de la courbe c f(x)=x−exf(x)=x-e^xf(x)=x−ex et et de la courbe c'g(x)=(1−x)exg(x)=(1-x)e^xg(x)=(1−x)ex
comment faire ?
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Tu utilises h défini par h(x)=f(x)-g(x)que tu viens d'étudier .
Pour h(x)=0 : C coupe C'
Pour h(x) > 0 : C au dessus de C'
Pour h(x) < 0 : C en dessous de C'