Résoudre une équation différentielle sur R



  • Bonjour,
    j'ai un DM de maths à faire, mais je suis bloqué à certaines questions, pouvez vous m'aider s'il vous plaît ?

    1. Résoudre l'équation différentielle : 4y'+y=0 (E0(E_0), dont l'inconnue est une fonction définie et dérivable sur R.

    => f(x)=kex/4f(x)=ke^{-x/4}

    2)On considère l'équation différentielle : 4y'+y = ex/4e^{-x/4}(4x+2) (E).
    a. Déterminer deux réels m et p tels que la fonction f définie sur R par : f(x) = (mx²+px)ex/4+px)e^{-x/4} soit solution de (E).

    => J'ai dérivé mais je suis bloqué. Je suis parti de f'(x)=(2mx+p)(ex/4(x)=(2mx+p)(e^{-x/4})+(mx²+px)(1/4ex/4+px)(-1/4e^{-x/4}) et j'arrive à f'(x)=ex/4(x)=e^{-x/4}(2mx+p-mx²1/4-px1/4)

    b. Soit g une fonction définie et dérivable sur R.
    Montrer que g est solution de l'équation (E) si et seulement si g-f est solution de l'équation (E0(E_0). Résoudre l'équation (E).

    1. Etudier les variations de la fonction h définie sur R par h(x)=1/2ex/4h(x)=1/2e^{-x/4}(x²+x)

    2. Déterminer les limites en -∞ et +∞ de la fonction h.

    3. Etudier les positions relatives de C, la courbe représentative de h et T, celle de la fonction x→ex/4e^{-x/4}

    Merci d'avance.


  • Modérateurs

    Bonjour,

    OK pour la 1)

    Pour te débloquer la 2) :

    Tu remplaces f(x) et f'(x) par leurs expressions dans (E) et tu procèdes par identification pour trouver m et p



  • Je fais ça ?
    4(ex/44(e^{-x/4}(2mx+p-mx²1/4-px1/4) + (mx²+px)ex/4+px)e^{-x/4} = ex/4e^{-x/4}(4x+2)


  • Modérateurs

    Oui , mais il faut continuer.

    Tu peux diviser les deux membres pae ex/4e^{-x/4}

    Ensuite , tu transformes le membre de gauche pour le mettre sous forme d'un polynome , que tu identifies avec le polynome du membre de droite.



  • Ok, je trouve 8m=4 donc m=1/2 et 4p=2 donc p=1/2 ?



  • Comment dois je procéder pour la question 2)b. ?


  • Modérateurs

    OK pour m et p

    Pour la 2)b) , c'est une question "théorique"

    Tu peux raisonner par équvalence logique pour par [ "partie directe" et "partie réciproque"]

    Je te conseille la seconde façon qui est plus longue mais plus claire mais regarde ton cours pour la méthode , car j'ignore ce que souhaite ton professeur...



  • je demanderai à mon professeur, quelle méthode utilisée.

    1. La fonction est toujours croissant puisque l'exponentielle est strictement positive et que x²+x est positif ?

  • Modérateurs

    Pour la question 2)b) , tu peux regarder cet article "équation différentielle avec second membre" et l'exemple traité ( avec la méthode par équivalence logique )

    http://www.math...econd-membre

    Pour la 3) , calcule la dérivée et cherche son signe pour déduire le sens de variation de la fonction.



    1. h'(x)=ex/4(x)=e^{-x/4}(-x²/4+3x/4+1/2)

    La fonction exponentielle étant positive le signe dépend de -x²/4+3x/4+1/2.

    -x²/4+3x/4+1/2 > 0 => -x²+3x+2 > 0 => je calcule le discriminant puis les racines ?


  • Modérateurs

    Ta démarche est juste mais recompte h'(x)



  • la dérivée de 1/2ex/41/2e^{-x/4} = 1/8ex/4-1/8e^{-x/4} ?



  • la dérivée de 1/2ex/41/2e^{-x/4} = 1/8ex/4-1/8e^{-x/4} ?


  • Modérateurs

    oui

    Pour h'(x) tu dois trouver :

    ex4(18x2+78x+12)e^{-\frac{x}{4}}(-\frac{1}{8}x^2+\frac{7}{8}x+\frac{1}{2})



  • Je n'arrive pas à trouver pareil, je trouve ex/4e^{-x/4}(-1/8x²+7/8x+1/2)


  • Modérateurs

    OK , tu as bon ( j'ai fait une faute de frappe )

    Il te reste maintenant à étudier le signe de -1/8x²+7/8x+1/2



  • En étudiant le signe je trouve comme racine -0,53 et 7,53. Mais sur quand je tape ma fonction sur la calculatrice, la courbe varie entre d'autres valeurs.



  • En faite c'est bon, je l'avais mal tapé.

    1. je trouve que la fonction tend en 0 en + ∞ mais en -∞ j'ai une indétermination que je n'arrive pas à lever.

  • Modérateurs

    OK pour ta limite en +∞

    Pour -∞ , il n'y a pas d'indétermination

    x tend vers -∞ , donc -x/4 tend vers +∞ , donc ex/4e^{-x/4} tend vers +∞ .
    x²+x tend vers +∞ ( prend le terme de plus fort degré ) , 1/2 est une constante positive , donc le produit tend vers ................



  • mais x² tend vers + ∞ et x tend vers -∞, c'est là qu'il y a une forme indéterminée, non ?


  • Modérateurs

    Salut Blarg,

    Il y a une indétermination en effet, mais quand tu es dans le cas d'une expression polynômiale comme ici (du type x+3x²5x4-5x^4+...), la limite en l'infini est toujours celle du terme de plus haut degré (celui où la puissance est la plus élevée).
    Dans ton cas pour s'en convaincre, il suffit de factoriser par x² : x²+x=x²(1+1/x)


  • Modérateurs

    Comme je le l'ai dit , tu peux utiliser directement le théorème relatif aux polynomes :
    En +∞ et en -∞ , la limite d'un polynome est la limite de son terme de plus fort degré.

    limx(x2+x)=limx(x2)=+\lim_{x\to -\infty}(x^2+x)=\lim_{x\to -\infty}(x^2)=+\infty

    Si tu ne le connais pas , tu lèves l'indétermination en factorisant

    Par exemple :

    x2+x=x2(1+1x)x^2+x=x^2(1+\frac{1}{x})

    Lorque x tend vers -∞ , 1/x tend vers 0 donc( 1+1/x) tend vers 1 , x² tend vers +∞ donc le produit tend vers +∞

    ( cette factoisation illustre le théorème )

    Autre exemple x²+x=x(x+1)

    Lorque x tend vers -∞ , x et (x+1) tendent vers -∞ donc le produit tend vers +∞

    Tu as tous les choix !


  • Modérateurs

    Bonjour kanial ( posts simultanés...)



  • Ok, j'ai compris donc en -∞ la fonction tend vers +∞

    1. J'ai étudié le signe de h(x)ex/4h(x)-e^{-x/4} = ex/4e^{-x/4}(x²/2+x/2-1)
      J'obtiens comme positions relatives : C est au dessus de T en ]-∞;-2[ ; en dessous en ]-2;1[ ; en dessus en ]1;+∞[

    2)b. est ce que (g-f)' = (g)' - (f)' ?


  • Modérateurs

    Oui.

    Les positions relatives sont bonnes.

    La dérivée d'une différence est bien la différence des dérivées.



  • 2)b. je suis parti de 4(g-f)'+(g-f)=0
    et je suis arrivé à 4(g)'+g=ex/4+g=e^{-x/4}(4x+2)

    Par contre je ne vois pas comment résoudre (E)


  • Modérateurs

    Tu raisonnes logiquement en utilisant tout ce qui a été démontré dans l'exercice.

    Tu sais que :

    g solution de (E) < = > g-f solution de (E0)

    Tu connais les solutions de(E0)

    Donc : $g(x)-f(x)=ke^{-\frac{x}{4}$

    Conclusion : $g(x)=f(x)+ke^{-\frac{x}{4}$

    ( tu remplaces f(x) par son expression )



  • g(x)= ex/4e^{-x/4}(x²/2+x/2-k) ?


  • Modérateurs

    Presque . Je dirais plutôt ...(.. +k) au lieu de ...(...-k)



  • Ok, j'ai vu mon erreur.
    Merci


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