Problème surfaces

Salut à tous ! Alors voilà, j'ai un problème à résoudre, que voilà :

En gros j'ai une bergerie de 6m de long sur 4 de large, et un mouton attaché à une corde de 10m. L'extrémité de la corde est attachée au coin de la bergerie.

1ère question on me demande de calculer la surface qu'il peut brouter, bon ça c'est facile, je fais la somme des différents aires des quarts de cercle et demi cercles selon la longueur de corde qu'il reste au mouton une fois qu'il s'est déplacé jusqu'à un des angles de la bergerie.
Je trouve l'aire totale, ok.

Maintenant, le problème c'est la deuxième question où on me demande de prouver que c'est quand la corde est attachée à un des coins de la bergerie que l'aire que le mouton peut brouter est maximale.
Donc voilà, j'essaie de prouver que quand la corde est attachée à un angle, les surfaces sont supérieures car une aire calculée à partir d'un rayon de 10m² est supérieure à deux aires calculées par exemple à partir de deux rayons de 8m² et 2m², mais j'y arrive pas, j'obtiens des égalités que je ne peux pas (ou ne sais pas) résoudre. Quelqu'un aurait-il une idée de comment s'y prendre?

Je sais pas si je suis clair, je pense qu'il faut avoir un peu réfléchi au problème pour comprendre ce que je veux faire passer.
En tout cas merci à ceux qui prendront un peu de temps pour m'aider.

Bonjour Zig,

Pour la deuxième question, indique tes éléments de réponse.

Alors, la première aire, j'ai trouvé :
A=pi.r²/2 + pi.r²/4 + pi.r'²/4 + pi.r''²/4 = pi.r²/2 + pi/4 ( r²+r'²+r''²)
=276,32 (en prenant pi = 3,14)

avec r = 10, r' = 6 et r'' = 4

A partir de ça, j'essaie de prouver que ma seconde égalité, si on place l'extrémité de la corde sur un des murs ailleurs que dans les coins vaut :
A'=pi.r²/2 + pi/4(x+x'+x''+x''')

Car quel que soit l'endroit où on se place sur le mur on a toujours un demi cercle de 10m de rayon, restent 4 quarts de cercles à rayon variable selon l'endroit où on s'est placé.
Du coup j'ai l'inégalité
A>A'

Donc les pi.r²/2 s'annulent et les pi/4 aussi.
Il me reste 10² + 6² + 4² > x+x'+x''+x'''

Sachant qu'un carré est supérieur à la somme des carrés des nombres entiers qui le composent (c'est très mal dit, je sais pas comment le dire, mais je veux dire par exemple que 10²>8²+2²). Et même ça, ça se vérifie mais je sais pas si y a un théorème qui le dit.
Donc j'essayais d'arriver à quelque chose à partir de ça, mais de toute évidence c'est pas possible, d'où ma demande d'aide.

Merci d'avance !

Pour la première question, il faut chercher l'aire en précisant la position ou est attachée la corde.

Pour la deuxième question calculer l'aire pour une position quelconque x.

La première question j'ai déjà trouvé l'aire. Pour la seconde, comment je peux faire? Ce que tu me conseilles de faire, c'est ce que j'ai essayé de faire. Si j'ai différents x (x,x',x'' ...) c'est parce que selon l'endroit où on se place on obtient des quarts de cercles de différents rayons, je ne peux pas me contenter d'un seul x.
A partir de là, comme je ne peux pas résoudre une équation à autant d'inconnues, par quoi je pourrais débuter? Je cherche de toute évidence dans la mauvaise direction. Tu aurais une piste? Même sans me donner la réponse finale.

Je ne vois pas les 4 arcs de cercles + le demi cercle ?
Pour une position quelconque, choisir une origine O puis une distance x à partir de 0 et écrire l'aire en fonction de x.

Idem quand tu écris r, r', r", il doit y avoir une relation en fonction de r.

Voici mes figures, j'ai essayé de simplifier au maximum pour que ça ne soit pas trop fouillis, j'espère que tu les comprendras :
La première avec la corde attachée dans le coin de la bergerie (le point M représente le mouton)
http://imageshack.us/photo/my-images/10/img1254qv.jpg/

La seconde, avec la corde attachée à un point quelconque (ici j'ai pris un point situé aux 3/4 du côté de 4m de long pour que tu comprennes pourquoi je vois des quarts de cercle et des demi cercles.
http://imageshack.us/photo/my-images/534/img1255sr.jpg/

Comme à chaque fois j'ai un nouveau rayon, j'ai choisi des x et des r différents.
Je suis complètement à côté de la plaque?

C'est correct,

mais quand tu as un nouveau rayon, tu peux écrire son rayon à partir de r
1 figure :
r = 10, r' = 10-4 = 6 et r" = 10 - 6 = 4

2eme figure à la place de 1, note x
r = 10, r' = 10 - 4 + x et r" = ....

D'accord ! Je trouve :
r=10
r'=4+x
r''=10-x
r'''=6-x
r''''=x

Je calcule l'aire et j'obtiens :
A'=pi.10^2 + pi/4[(4+x)^2 + (10-x)^2 + (6-x)^2 + x^2]
=pi.10^2 + pi/4 (152 - 24x + 4x^2)

En posant comme j'ai expliqué dans un des précédents messages, j'obtiens :
A>A'
Donc 10^2 + 6^2 + 4^2 > 152 - 24x + 4x^2
<=> 152 > 152 - 24x + 4x^2
<=> 24x > 4x^2
<=> x < 6

Donc A>A' pour tout x inférieur à 6
Et comme la bergerie fait 6m de long, l'aire maximale est atteinte pour 6m.

Le raisonnement est bon?

Pourquoi 4 + x ?

je me suis fait une nouvelle figure avec x ce coup ci et ça me donne
r' = 10 - 6 + x = 4+x

Tu obtiens pas ça?

J'ai pris en compte la figure que tu as fait.

Voici mes deux nouvelles figures :
Avec la corde attachée en coin
http://imageshack.us/photo/my-images/856/img1256l.jpg/

Avec la corde attachée en x
http://imageshack.us/photo/my-images/694/img1257sd.jpg/

Excuse moi pour les proportions, je n'ai pas fait ça au compas.

Maintenant, tu es d'accord avec mes résultats et mon raisonnement pour prouver que l'aire est maximale avec la corde attachée en coin?

Les figures sont correctes.

Tu dois chercher les valeurs de x pour lesquelles l'aire est maximale.

C'est bon, j'ai trouvé en faisant A-A'>0
En résolvant l'inégalité j'obtiens x<6

Donc A est supérieure à A' pour tout x inférieur à 6, et comme dit précédemment, 6 étant la valeur maximale de 6 puisque la bergerie fait 6m de long, A est maximale pour x=6, c'est à dire quand la corde est attachée dans un coin.

Merci pour ton aide, Noemi, et bonne nuit !

Il faut chercher la valeur de x qui donne une aire maximale.