Etudier le sens de variations d'une fonction polynôme du second degré



  • Bonjour,
    J'ai besoin de votre aide svp;

    Exercice:
    Soit la fonction f définie sur ℜ par f(x)=x²+2x-2
    Etudier le sens de variation de f sur l'intervalle ]-∞;-1].

    Est-ce que la démarche est correcte ?

    Soient a et b, deux réels de l'intervalle ]-∞;-1] tels que a≤b≤-1.
    Comparons f(a) et f(b):
    f(a)-f(b)= (a²+2a-2)-(b²+2b-2)
    = a² +2a -b² -2b
    = a(a+2) - b(b+2)
    On a a≤-1 donc a(a+2)≥0
    On a b≤-1 donc b(b+2)≥0
    On a a≤b≤-1 donc a(a+2)≥b(b+2)
    D'où f(a)≥f(b); f inverse l'ordre sur ]-∞;-1], donc f est croissante sur cet intervalle.

    Merci d'avance 🙂


  • Modérateurs

    Bonjour linam

    A partir de : f(a)-f(b)= (a²+2a-2)-(b²+2b-2)
    = a² +2a -b² -2b
    = ...
    Mets a-b en facteur.



  • Bonjour,
    Citation
    On a a≤-1 donc a(a+2)≥0Le raisonnement est faux : essaie avec -1.5 qui est inférieur à -1.
    Il vaut mieux factoriser autrement a² +2a -b² -2b, mais ça na simplifie guère.
    Utilise plutôt la forme canonique de x²+2x-2



  • Bonjour,
    Mon professeur exige qu'on utilise cette méthode pour s'entraîner.

    Donc voilà ce que j'ai fais;

    Exercice:
    Soit la fonction f définie sur ℜ par f(x)=x²+2x-2
    Etudier le sens de variation de f sur l'intervalle ]-∞;-1].

    Soient a et b, deux réels de l'intervalle ]-∞;-1] tels que a≤b≤-1.
    Comparons f(a) et f(b):
    f(a)-f(b)= (a²+2a-2)-(b²+2b-2)
    = a² +2a -b² -2b
    = (a-b)(a+b+2)
    De a≤b≤-1 on a (a+b)≤0
    De a≤b≤-1 on a (a+b+2)≤0
    Donc (a-b)(a+b+2)≥0 ; f(a)-f(b)≥0
    D'où f(a)≥f(b); f inverse l'ordre sur ]-∞;-1], donc f est décroissante sur cet intervalle.

    Merci d'avance 😄


  • Modérateurs

    Juste une erreur,

    Ce n'est pas a+b ≤ 0, mais a - b ≤ 0



  • Ah oui mince, sinon le reste est correct ?


  • Modérateurs

    Oui c'est correct.


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