Plan complexe (méthode algébrique&géométrique)

Bonjour, j'ai un DM à rendre pour après les vacances et je bloque sur un exercice :

**Le plan complexe est muni d'un repère orthonormée direct. A tout nombre complexe distinct de 4, on associe Z=(iz-4)/(z-4).
On note A le point d'affixe 4 et on considère l'ensemble C des points M d'affixe z tels que Z soit réel.
Déterminer et construire cet ensemble C par deux méthodes différentes.

Méthode algébrique
On pose z=x+iy et Z=X+iY, exprimer X et Y en fonction de x et y.
Ecrire une équation cartésienne de C.**

Alors j'ai remplacé z par x+iy dans Z, j'ai fait l'expression conjuguée etc mais je me retrouve avec des expressions à rallonge et je ne sais pas si c'est normal ou si je suis censée réduire encore plus :

Je trouve:
X = (-4x+4y+16) / [(x-4)²+y]
Y= (x²+y²-4x+4y) / [(x-4)²+y]

Pour l'équation cartésienne, je sais que c'est quelque chose de la forme ux+vy+h , mais je n'arrive pas à en tirer quelque chose..

2. Méthode géométrique
On considère B d'affixe -4i.
Vérifier que (iz-4)/(z-4) est réel si et seulement si (z+4i)/(z-4) est imaginaire pur. (on remarque que iz-4=i(z+4i).)

Là je m'avoue un peu perdue.. J'ai fait quelques calculs au brouillon mais rien qui m'aide.

Je suis désolée de devoir vous demander de l'aide en période de fêtes, mais quelques indices seraient les bienvenus :rolling_eyes:

Merci d'avance !

Bonjour Nineleya,

Si Z est réel c'est que la partie imaginaire est nulle donc .....
Suis l'indication, mets i en facteur

Merci,

Ah oui, donc Y=0, il me reste juste X à mettre sous la forme ux+vy+h ?

Non,

C'est Y = 0 que tu modifies.

Mais pourquoi ? Si il est égal à 0 je ne vois pas pourquoi on le modifie ..

Pour trouver l'ensemble C.

Mais comment je dois le modifier ? ..

(x²+y²-4x+4y) = 0

C'est l'équation d'un cercle de centre ....
et de rayon ....

Ah je trouve
(x-2)² + (y+2)² = (2√2)²

Donc le centre du cercle a pour coordonnées (-2;2) et le cercle a pour rayon 2√2 ?.. Mais après pour le représenter dans le plan complexe je suis coincée vu qu'il n'y a plus de i dans la formule..

Une erreur pour le centre.

Quelle différence y a t-il entre un repère cartésien et le plan complexe ?

Une erreur ? dans les coordonnées?
L'axe vertical représente les i non?

Oui
les cordonnées (2;-2)

Oui, merci, je n'avais pas fait attention. Donc centre d'affixe (2-2i) ?

Pour ce qui est du 2) j'ai mis en facteur i comme indiqué, du coup j'obtiens:
i [ (z+4i)/(z-4) ] mais ce n'est pas déjà un imaginaire puisqu'il n'y a pas de partie réelle? Et pourtant il faut prouver que c'est un réel, si (z+4i)/(z-4) est imaginaire..

Le produit de deux imaginaires pur est un réel, donc ...

Ah je n'y avais pas pensé, merci beaucoup