Equation Différentielle a résoudre

Bonjour à tous !

Un exercice type bac nous a été donné afin que nous puission approfondir nos connaissance sur le sujet.
J'ai commencé cette exercice Lundi mais je ne l'ai toujours pas fini ! Je bloque a la dernière question ...
Voilà pourquoi je sollicite votre aide , afin d'éventuellement corriger mes erreur de rédaction ou de calcul/méthode et afin de m'aider a boucler cette exos.

Merci d'avance a tous ceux qui prendont de leurs temps pour m'aider

On se propose de résoudre l'équation différentielle (E) : y' + y = x + 1 , y étant une fonction de la variable réelle x et y' sa dérivée.

MA RÉPONSE : on a y'=z'+1 ( en dérivant ) , or y' = -y + x + 1

z' = -y+ x + 1 - 1

soit :

z' = -(y- x )

et comme y-x = z on obtient :

z' = -z

a) On pose z=y-x ; écrivez l'équation différentielle (F) satisfait par z.

b) Résolvez (F), puis (E).

(F) : z' = -z forme y' = ay avec a = -1
les fonctions solution sont :
x→ke-x , k є IR
Sachant y = z+x , les fonctions solution de (E) sont :
x→ke-x+x , k є IR

On appelle fα la solution de (E) telle que fα (0) = α

a) Démontrez que, pour tout α , la tangente à Cα au point d'abscisse -1 passe par l'origine du repère.

fα(0)=α
fα solution de (E) <=> fα(x) = ke-x+x
fα(x) = αe-x+x
tangente au point d'abscisse (a)
y = f'(a) (x-a) + fα(a)
y = fα(-1) (x+1)+fα(-1)
or f'(x) = αe-x+1 ; f'α(-1) = αe+1 ; fα(-1) = αe-1
donc y = (-αe+1) (x+1)+αe-1
y = -αxe-αe+x+1+αe-1
y = (-αe+1)x forme y = ax , a є IR
C'est une droite passant par l'origine.

b) Plus généralement, démontrez que toutes les tangentes aux courbes Cα en un point d'abscisse x0 donnée se coupent sur C0.

JE SUIS BLOQUEE A CETTE QUESTION ^^

Merci

Bonjour MissLinoa,

Une erreur dans la dérivée de fa(x).

2 b) fais le même calcul pour x0.

Bonjour Noemi,

Merci de m'avoir répondu

Pour la dérivée , f(a) = ae^(-x)+x
f'(a) = ae^(-x)+1

Je ne vois pas où est mon erreur ^^

2)b) Il faut que je remplace le x du a= par x0 ?

Pour la dérivée , f(a) = ae^(-x)+x
f'(a) = - ae^(-x)+1

La dérivée de $e^{-x}$ = $e^{-x}$

2)b) y = f'(x0)(x-x0)+f(x0)

Ah oui c'est vrai ! Désolé , une erreur d’inattention ^^
Du coup sa décale tout ?

fα(0)=α
fα solution de (E) <=> fα(x) = ke-x+x
fα(x) = αe^(-x)+x
tangente au point d'abscisse (a)
y = f'(a) (x-a) + fα(a)
y = f'α(-1) (x+1)+fα(-1)
or f'(x) = -αe^(-x)+1 ; f'α(-1) = -αe+1 ; fα(-1) = -αe-1
donc y = (-αe+1) (x+1)+αe-1
y = -αxe-αe+x+1+αe-1
y = (-αe+1)x forme y = ax , a є IR
C'est une droite passant par l'origine.

Ai-je bien corrigé ?

2)b) y= = f'(x0)(x-x0)+f(x0)
en remplaçant j'obtient :

y= (-ae^(-x0)+1) (x-x0) + ( a*e^(-x0)+1 )

Faut-il que je développe ?

Une erreur de signe :
fα(-1) = αe-1

b) développe et simplifie.

Merci

b)

[(-a*e^(-x0))x + (ae^(-x0))x0 + x-x0] + ae^(-x0)+1

Mais je ne peux plus avancer... les x équivaut-il à x0 ?

Une erreur au début :
y= (-ae^(-x0)+1) (x-x0) + ( ae^(-x0)+x0 )
y = (-ae^(-x0)+1)x +ae^(-x0)x0 - x0 + ae^(-x0)+x0 =
y = ....

y= (-ae^(-x0)+1)x +ae^(-x0)x0 + ae^(-x0)
y= (-ae^(-x0)+1)x +(2ae^(-x0))x0
y = (ae^(-x0))*x0) + x ?

y= (-ae^(-x0)+1)x +ae^(-x0)x0 + ae^(-x0)
y= (-ae^(-x0)+1)x +ae^(-x0)*(x0+1)

Ah j'ai compris ! Du coup on developpe et on a :

y=-xae^(-x0) + x0ae^(-x0) + x + a*e^(-x0)

C'est ça ?

Je ne saurais allez plus loin....

Si a = 0, y = x
Si a = 1, y = x.(1 - e^-xo) + e^-xo.(xo+1)

-x.e^-xo + e^-xo.(xo+1) = 0
x = xo + 1

j'avance ?

et pour la suite j'ai ça :

Se coupent pour : x.(1 - e^-xo) + e^-xo.(xo+1) = x
-x.e^-xo + e^-xo.(xo+1) = 0
x = xo + 1
Se coupent au point de coordonnées (xo+1 ; xo+1)

Point qui est bien sur Co, en effet :

Co : fo(x) = x + 0.e^-x
Co : fo(x) = x

vérifions si toutes les tangentes passent bien par le point de coordonnées (xo+1 ; xo+1).

y = x.(1 - a.e^-xo) + a.e^-xo.(xo+1)
y(xo+1) = (xo+1).(1 - a.e^-xo) + a.e^-xo.(xo+1)
y(xo+1) = xo - a.xo.e^-xo + 1 - a.e^-xo + a.xo.e^-xo + a.e^-xo
y(xo+1) = xo + 1

dONC toutes les tangentes aux courbes Ca en un point

d'abscisse x0 donnée se coupent sur C0 au point de coordonnées

(xo+1 ; xo+1)

C'est correct.

D'accord ! Merci infiniment de m'avoir aidée !