Aire minimale d'un triangle (DM de maths)

Bonjour.

J'ai un exercice de math à faire, mais je ne comprends pas comment le résoudre. S'il vous plait aidez moi !
Voici l'énoncé:

ABC est un triangle rectangle en B, tel que AB= 3 et BC= 4.
Les points D, E et F appartiennent respectivement aux segments [AB], [AC] et [BC].
BDEF est un rectangle.
Où faut-il placer le point E pour que la longueur DF soit minimale ?

Je ne trouve pas comment faire ... Je suis un peu perdue.
Merci d'avance.

Bonjour Math49,

As tu fait une figure ?
Indique tes éléments de réponse.

La figure est sur le DM je peux mettre une photo si vous le souhaitez

Quel segment as-tu choisi pour inconnue ?

Je pense que DE est mieux

Non, DF serait plus simple ...

Cherche avec DE.

soit DE=x 0<DE<4

DF= x² - EF

DE compris entre 0 et 4

Oui,

mais pose DE = x et exprime DF en fonction de x.

Oui donc pour ça j'utilise le théorème de Pythagore.
DF²= x² + EF²

Mais je n'ai pas la mesure de EF.

Exprime DA en fonction de x (Thalès), puis BD.

AD/AB = AE/AC = DE/BC

CA² = CB² + AB²
CA² = 16 + 9
CA = 5

AD = (AB*AE) / AC
AD = (3 * (AC - EC)) / 5

Il me manque AE pour ce calcul, et je ne peux pas utiliser de théorème de Pythagore car il me manque trop de mesure.

A partir de :

AD/AB = AE/AC = DE/BC
AD/3 = x/4
soit AD = ...
Puis BD = ....

Non en fait j'ai trouvé . C'est :

AD= (AB * DE) / BC
AD= (3 * x) / 4
AD= 3x/4

Et donc BD = BA - AD

= 3 - 3x/4
= x/4

Non,

BD = BA - AD
= 3 - 3x/4

D'accord, mais maintenant je ne vois pas comment faire.

Calcule FD en fonction de x.
Puis étudie les variations de la fonction.

FD² = x² + (3 - 3x/4)²

Mais comment je fais parce que je ne peux pas les additionner, donc est-ce que je peux laisser FD= x + 3- 3x/4 ?

Développe et ordonne les termes.

FD² = x² + (3 - 3x/4)²
FD² = x² + (9 - 9x²/4)
FD = √x²+(9 - 9x²/4)
FD = x + 9 - 3x/2

Non,

FD² = x² + (3 - 3x/4)²
Utilise (a-b)² = ....

Ah oui les identités remarquables !

FD² = x² + 9 - 18x/4 + 9x/4
FD² = x² + 9 - 9x/4

Une erreur :
FD² = x² + 9 - 18x/4 + 9x²/16
réduis au même dénominateur et ordonne

Merci.

FD² = x² + 9 - 18x/4 + 2.25x²/4
FD² = x² + 2.25x²/4 - 18x/4 +9
FD² = 3.25x²/4 - 18x/4 + 9

Quel type de fonction a t-on et comment trouve t-on le minimum ?

Une fonction affine ?

Non,

Une parabole,

Comment trouve t-on les coordonnées du sommet ?

en utilisant les données maximales, et donc pour trouver les données minimales c'est les cordonnées du point le plus bas

Oui le point le plus bas.

Donc il faut que je fasse un graphique ?

C'est du cours, comment trouve t-on l'abscisse du sommet de la parabole ?

je ne sais pas du tous, on ne l'a pas encore vu en cours

Tu n'as pas étudié les paraboles ?

non sans plus, on a juste vu les fonctions en général

Pas le tracé d'une parabole ?

on a appris que les points sont placés de manière régulière

Et pour le sommet ?

Si non trace la courbe.