Montrer des inégalités avec valeurs absolues

Bonsoir,

Pourriez vous me corriger exercice et m'aider pour la question 2) et 3)
S'il vous plait merci d'avance.

voici l'exercice :

1)démontrer pour tout réel de x on a x ≤ |x|
j'ai trouver si x≥0 alors |x|=x
si x<0 alors |x| =-x
on a |x|>0 donc |x|>x
j'en conclut pour tout réel on a |x|≥x

2)démontrer pour tout réel de x on a |x|² ≤ x²
je n'arrive besoin d'aide s'il vous plait

3)démontrer pour tout réel de x et y on a |x+y|² ≤ (|x|+|y|)²
pareil je n’arrive pas

4)en déduire que on a |x+y| ≤ |x|+|y|
|x+y| ≥ 0 et |x|+|y| ≥ 0
donc |x+y| ≤ |x| + |y|

s'il vous plait besoit de votre aide

Bonsoir ayyappan,

Applique la même approche pour les deux autres questions.

c'est bon je que j'ai fait pour l'instant (question 1 et 4 ) ?

Les réponses pour les questions 1 et 4 sont correctes.

j'ai essayer de faire la 2 et 3 mais je n'arrive pourriez vous me donner une piste

si x ≥0, |x|= .....
|x|² = ....
Si x ≤ 0, |x|= .....
|x|² = ....
Donc ...
Même raisonnement pas avec x et y >0 ou <0 et
x et y de signe contraire.

Merci pour votre je vais essayer

Pouvez vous me corriger la 2) s'il vous plait merci d'avance

si x ≥0, |x|= x
|x|² =x²
Si x ≤ 0, |x|= -x
|x|² =(-x)²=x²
Donc |x|² ≤ x²

est ce bon ?

C'est correct.

merci, je n'arrive pas a faire la 3) pourriez vous m'aider s'il vous plait

pour la question 3,

Deux cas à étudier :
x et y de même signe ou x et y de signes contraires

Voici le début :
x≤ |x| ET y≤ |y| ALORS x + y |x| + |y|

c'est bon pour l'instant ?

Si x et y de même signe
|x+y|² = (x+y)²
et (|x|+|y|)²= x² + 2xy + y²
donc
.....
Si x et y de signe contraire
|x+y|² = (x+y)² mais x+y < |x|+|y|
donc
...

Pouvez vous me corriger la 3) s'il vous plait merci d'avance

|x+y|²=|(x+y)²|=(x+y)²
|x+y|²-(|x|+|y|)²=(x+y)²-(|x|²+2|x||y|+|y²|)
=x²+2xy+y²-(x²+2|x||y|+y²)
=2(xy-|x||y|)

comme xy<=|x||y| donc
xy-|x||y|<=0

donc
|x+y|²<=(|x|+|y|)²

C'est correct.

pourriez vous m'expliquer avec votre méthode je ne l'ai pas compris

J'utilise le signe de x et y, mais ta méthode est plus simple.

merci beaucoup pour votre aide. Est ce que je dois préciser quelques chose d'autre dans mes démonstration car cela me parait court notamment pour la question 4) ?

Qu'as tu écrit pour la question 4 ?

4)en déduire que on a |x+y| ≤ |x|+|y| et moi j'ai fait :
|x+y| ≥ 0 et |x|+|y| ≥ 0
donc |x+y| ≤ |x| + |y|

Non,

Tu dois utiliser les résultats des questions précédentes notamment la 3).

Je ne trouves oas pourriez vous m'aider s'il vous plait merci d'avance.

Utilise la relation de la question 3)
si u et v positif,
u² ≤ v² implique .....

je ne comprend plus rien au début vous m'avait dit que j'avais bon pour la question 4 et là vous me dites que c'est faux et j'ai pas compris comment on fait ?
POURRIEZ VOUS M'EXPLIQUER S4IL VOUS PLAIT MERCI D'AVANCE

Désolé, je n'avais pas analysé complètement le premier post.
Pour la question 4, tu indiques
|x+y| ≥ 0 et |x|+|y| ≥ 0 (1) ce qui est juste mais la conclusion
est trop rapide.
Tu rappelles que
|x+y|² ≤ (|x|+|y|)²
à partir de (1)
d'ou
on déduit |x+y| ≤ (|x|+|y|)

merci pour votre est ce bon si j'écrit ceci :

pour la question

4)En déduire que on a |x+y| ≤ |x|+|y|

|x+y|² ≤ (|x|+|y|)²
|x+y| ≥ 0 et |x|+|y| ≥ 0
DONC ON DEDUIT QUE |x+y| ≤ (|x|+|y|)

est ce bon ?

oui,

C'est correct.

excusez moi de vous déranger mais pourriez vous s'il vous plait tout revérifier une dernière fois pour être sur . Merci d'avance.

PS:Est ce que je dois préciser quelques chose d'autre dans mes démonstration ? (cela me parait court c'est pour sa)
et après je vous laisse tranquille.

Tu peux détailler un peu plus et indiquer les propriétés que tu utilises.

c'est pas correct si je laisse comme sa ?

Si, c'est correct.

je suis obligé de rajouter quelque chose DANS LES DEMONSTRATION ?

ET ENCORE EXCUSER MOI DE VOUS D2RANGER A CHAQUE FOIS

L'ensemble est cohérent, mais si tu trouves l'ensemble trop court, tu peux rédiger un peu plus les démonstrations.

MERCI BEAUCOUP DE VOTRE AIDE

excusez moi de vous déranger je me suis tromper dans l’énoncé pour la question 2)

2)démontrer pour tout réel de x on a |x|² = x²
je n'arrive besoin d'aide s'il vous plait

pourriez vous m'aider a démontrer pour tout réel de x on a |x|² = x²
je n'arrive besoin d'aide s'il vous plait

Pour x ≥ 0 , |x| = x
donc |x|² = x²
si x< 0, |x| =-x
et |x|² = (-x)² = x²

donc pour tout x, .....