Conjecturer la position de deux droites et démontrer

Bonjour et bonne fin d'année à tous.

Voici mon exercice :
Soit O un point du plan de deux demi-droites (d1) et (d2) d'origine O perpendiculaires en O.
a) Faire une figure avec un logiciel de géométrie dynamique (par exemple GEOGEBRA)
et créer un point mobile M de la droite (d1) et un point mobile de la droite (d2), avec M et N distincts du point O.

b) Tracer la bissectrice (DELTA) de l'angle MON, puis construire, toujours avec ce logiciel, les symétriques M'et N'
des points M et N par rapport à cette droite (delta)

c) Construire le point I milieu du segment [M'N'], puis imprimer la figure ainsi réalisé que vous rendrez avec votre copie.

d) En jouant avec la position des points M et N, que peut-on conjecturer sur les droites (OI) et (MN)?

e) Démontrer sur votre copie le conjecture de la première partie, par une méthode de votre choix.

Voici ma figure :

$fichier math$

Je n'arrive pas à démontrer que mes droites (OI) et (MN) sont perpendiculaires,
Merci par avance pour votre aide

Bonjour Amandine2b,

Une piste,
Utilise un repère et les coordonnées des points pour montrer que les vecteurs OI et MN sont orthogonaux.

Deja je peux écrire que
$etom⃗.om′⃗=0\vec{om'} = 2\vec{on} = \vec{on} + \vec{nm'} \ \vec{om} = 2\vec{on'} = \vec{on'} + \vec{n'm} \ et \vec{om}.\vec{om'} = 0$
...

Pourquoi ce coefficient 2 ?

parce que $on⃗+on⃗=om′⃗\vec{on} + \vec{on} = \vec{om'}$

Les points N et M sont mobiles.

Oui excusez moi, je me suis trompée ...
ensuite je peux ecrire que $oi⃗=on′⃗+n′i⃗\vec{oi} = \vec{on'} + \vec{n'i}$

Mais je ne sais pas comment continuer ensuite ...

Utilise les coordonnées des vecteurs.

Je ne peux pas arriver à demontrer d'une autre façon ? avec les égalités sur les angles par exemple ...?

Indique tes calculs avec les angles;

Je n'ai pas fait de calculs; mais je pensais utiliser le fait que ION' et M'OI sont deux triangles isocèles, donc les angles à la base sont égaux. Si je pouvais trouver la mesure de l'angle IOM' alors mon travail serait quasiment fini ...

N'oublie pas que les point M et N sont mobiles, donc les mesures des angles changent.

Cela ne change pas le fait que j'ai 2 triangles isocèles me semble-t-il, puisque I est le milieu de [M'N'] et donc (OI) est la médiane de OM'N' issue de O

C'est exact, les triangles seront toujours isocèles.

Je n'ai pas besoin de trouver une mesure exacte pour l'angle IOM' , puisque les points sont mobiles ... il faut que je trouve une égalité

Tu dois en déduire que l'angle OCM = 90°.

est ce que cela m'amène quelque part si je trouve que C est le centre de gravité du triangle ?