arithmétique : PGCD

[mathos92340]

Bonjour, je suis bloquée à cette exercice à la question 2:
Trouver un pgcd

a et b sont 2 entiers strctement positifs et g est leur PGCD ; p,q,r,s sont des entiers positifs tels que ps-qr=1 et on pose A=pa+bq et B=ra+sb

Objectif déterminer le PGCD g' de A et B

1- "g est un diviseur de A et B et g<ou= g' " justifier cette afirmation
2-"on tente donc de démontrer que g'=g. d'aprés la 1 il suffit de démontrer que g'<ou= g . En arithmétique on obtient une telle égalité que si l'on démontre que g' divise g. pour l'instant on sait que g' divise A et B et A=pa+qb et B=ra+sb
Mais pour démontrer que g' divise g il suffit de démontrer que g' divise a et b " justifier cette afirmation
3-"La question est maintenant celle ci : on sait que g' divise A=pa+qb et B=ra+sb , peut on en déduire que g' divise a et b? L'idée vient alors d'exprimer a en fonction de A et B et b aussi. "
Prouvez qu'il existe des entiers m et n, m' et n' , tels que a=mA+nB b=m'A+n'B

Merci d'avance

[Noemi]

Bonjour mathos92340,

A partir des relations de A et B exprime a et b en fonction de A et B.