Etudier la monotonie d'une suite et trouver sa limite

Bonjour a tous voila un petit Dm pour vendredi que l'on viens de me donner et malheureusement je suis bloqué

On considère la suite (Un) définie par { U0=1 et Un+1= Un+2n+3 pour tout entier naturel n

Etudier la monotonie de la suite (Un)

2)a. Démontrer par récurrence que , pour tout entier naturel n, Un>n²
b. Quelle est la limite de la suite (Un)

Proposer une démarche permettant de conjecturer une expression de un, en fonction de n , puis démontrer cette conjoncture

Voila la 1ère j'utilise Un+1 - Un mais on me donne pas Un alors cela me bloque très rapidement ...
Pour la 2 je pense y arriver
Mais la 3 je n'ai pas compris quoi faire

Merci pour vos aides en avance

Bonsoir johnsmith,

Vu que $U$ {n+1} $U_n$ +2n+3,
$U</em>{n+1}$ - $U_n$ = ....

Bonsoir Noémie ,

j'ai trouvé Un+1-Un= (Un+2n+3)- Un
= -2n-3

Donc toujours négatif non ?
Donc à ce moment la Un toujours décroissant... Est-ce la bonne réponse ? ...

Vérifie le calcul

Pourquoi -2n - 3 ??

Les Un s'annule alors il reste 2n+3 alors à ce moment la c'est toujours croissant non ?

Oui suite croissante.

Donc maintenant pour la question 2 , par récurrence , je pose (Un) la suite définie par { U0=1 et Un+1=Un+2n+3
je fais une initialisation au rang n=0
U0+1= U0+2*0+3 = 1+0+3=4
La propriété est fausse non...?

Pourquoi fausse ?
$U_0$ = 1 > 0
$U_1$ = 4 > 1
.....

Je veut bien mais en cours j'ai vu une méthode de récurrence avec initialisation et hérédité , dans l'initialisation on prenais le 1er terme pour n donc nous ici c'est bien n=0 non ? donc Un+1 = U1 ... Et n²=0 ? ..
Je sais pas si je suis claire ... Je voudrais juste avoir un eclairsisement sur ce point si possible ... Merci d'avance

Oui,

C'est bien cette méthode,
n = 0, $U_0$ = 1, la relation à vérifier est Un>n², 0² = 0
soit 1>0, ce qui est vrai.

Ah oui maintenant je vois , désolé je n'avais pas compris tout de suite , et grâce a cela j'ai réussi l'hérédité , et donc la limite , merci beaucoup .
Pouvais vous juste me dire ce qu'on attend de moi dans la question 3 ? ...

Pour la question 3, propose une relation de Un en fonction de n.
Analyse les termes U0, U1, U2, U3,

Puis tu démontres cette relation.

D'accord je vais essayer puis vous le montrer ...

U0=1
U1=4
U2=9
U3=16

Je remarque que a chaque fois il r+2 ou r devient le r+2 d'avant , je sais si vous voyais ce que je veut dire ...
J'arrive donc pas a trouver pour tout n ...

Analyse la suite 1 ; 4 ; 9 ; 16,
comment trouver les termes suivant .....

Et bien on fait on fait +3 puis +7 puis +9 et ect donc a chaque fois il y a un écart de +2 en prenant r d'avant ...

U0=1
U1=4
U2=9
U3=16
.....
Un = (n+1)²

Démontre cette conjecture. Par récurrence par exemple.

J'ai fais l'initialisation au rang n=0 puis je fais l’hérédité avec
on a Up=(p+1)²
On veut Up+1=Up+2p+3

Pour le moment c'est bien cela ?
Mais après j'utilise Up+1= Up+(p+1)² ?

pour l'hérédité, il faut prouver que U(p+1) = (p+2)²

et Up+1=Up+2p+3
= (p+1)²+2p+3
= ...

Up+1=Up+2p+3
= (p+1)²+2p+3
= p²+2p+1+2p+3
=p²+4p+4
=(p+2)²

A partir de la , je conclus qu'a n'importe qu'elle rang p ∈ N , l’hérédité est prouvé donc vrai a n'importe quel rang n .

Est cela ? et est ce que ma phrase de conclusion est suffisante ? ...

C'est juste.

Merci