Montrer qu'une équation admet une unique solution sur un intervalle

Bonsoir,
nous avons commencer à peine a aborder ce chapitre,
pouriez vous m'aider, me donner quelque piste sur une question qui me pose problème dans un exercice?
Merci d'avance!

La fonction f, f(x)= xlnx-x est définie sur ]0;+∞[

- Démontrer que l'équation f(x)=0 a une unique solution α dans l'intervalle ]2;3[.
Et donner un encadrement au dixième de α.

Bonsoir,

Utilise le théorème des valeurs intermédiaires , après avoir étudié les variations de f

Pour l'encadrement de α , utilise tar calculette.

-La fonction f est continue

strictement croissante de I ]0;+∞[ dans f*=[limf(quand x->0); limf(quand x->+∞)[=[0;+∞[
Donc par application de théorème des valeurs intermédiaires, a admet un unique antécédent α tel que f(α)=0

enfait je bloque complétement ce ne doit pas être ça.. ? *

et montrer que f(2)=2xln2-2= -0,6
et que f(3)=3xln3-3= +0,29

mais je sais pas comment faire ensuite?

Revois l'étude de f

f'(x)=lnx donc f est strictement croissante sur [1,+∞[ f(1)=-1 et la limite en +∞ est +∞

Pour la fin , tu y es presque. Il te reste à terminer .

Vu que f(2) < 0 et f(3) > 0 , nécessairement2 < α < 3

et là je cherche α à l'aide de la calculette?
α=2,7

Et l'encadrement de α;
2,6<α<2,8 ?

Il te faut un encadrement de 0.1

2.7 < α < 2.8

( pense à revoir les variations de f )

f est strictement croissante, et
la fonction ln est positive pour x>1 ?

Non f'(x)=lnx ( j'espère que tu a trouvé )

Donc :

pour 0 < x < 1 f'(x) < 0 donc f strictement décroissante

Pour x = 1 f'(x) = 0 donc f a une minimum f(0)=-1

Pour x> 1 f'(x) > 0 donc f strictement croissante

pour appliquer le TVI ( cas de la bijection) , utilise l'intervalle ]1 , +∞[ ( ou [1,+∞[ )

oui je l'avais fait
merci de votre aide, bonne soirée