probabilité en rapport avec les trinômes

bonjour à tous, je suis en ce moment même sur le chapitre des trinômes.
J'ai reçus un DM où un des exercices porte sur les proba. Je recontre certaines difficultés.
voici l'ennoncer :

"Une urne contient n jetons indiscernables (n≥7) dont 7 sont verts et les autres sont rouges. On y prélève, successivement et sans remise, deux jetons.
1- Calculer les probabilités des événements suivants en fonction de n :
 A : « les deux jetons sont verts »
 B : « les deux jetons sont de la même couleur »
 C : « le premier jeton est vert et le second est rouge »
 D : « les deux jetons ont des couleurs différentes »
2- On note X la variable aléatoire qui indique le nombre de couleurs obtenus lors du tirage.
a) Donner en fonction de n la loi de probabilité de X.
b) Vérifier que l’espérance de X est telle que E(X)= $n2+13n−98n(n−1)\frac{n^{2}+13n-98}{n(n-1)}$

c) Pour quelle(s) valeur(s) de n l’espérance E(X) est elle maximale ? Expliquez votre démarche.
Rappel : vous disposez d’une calculatrice GRAPHIQUE qui vous permet d’obtenir le graphique d’une fonction ou sa table de valeurs. On peut également utiliser si l’on préfère un logiciel Géogebra…"

J'ai répondu à la 1). Voici ce que j'ai répondu : $\frac{7}{n}<em>\frac{6}{n-1} = \frac{42}{n(n-1)} \ p(b)=\frac{7}{n}</em>\frac{6}{n-1}+\frac{n-7}{n}<em>\frac{n-1-7}{n(n-1)} \ p(c)=\frac{7}{n}</em>\frac{n-1-6}{n-1}=\frac{7n-49}{n(n-1)} \ p(d)=\frac{n-7}{n}*\frac{7}{n-1}+\frac{(n-1)-6}{n-1}=\frac{7(n-7)}{n(n-1)}+\frac{7(n-1)-6}{n(n-1)}=\frac{7(n-7)+7(n-1)-6}{n(n-1)}=\frac{14n-62}{n(n-1)}$
Est-ce correcte ?
Merci de bien vouloir me corriger

Bonsoir marie-rose.

Un n en trop dans P(B)
dans P(C) pourquoi n - 1 - 6 ?
Rectifie P(B) et P(D)

J'ai fais mon arbre de proba.
Pour P(B), on a soit la possibilité d'avoir deux jetons verts, soit la possiblité d'avoir deux jetons rouges.
donc pr P(B) j'ai pris P(A) -> deux jetons verts aauquel je l'ai additionner à la probabilité d'obtenir deux jetons rouges. Soit $n−7n∗(n−1)−7n−1\frac{n-7}{n}*\frac{(n-1)-7}{n-1}$
qui donne en développant : P(B)= $n2−15n−14n(n−1)\frac{n^{2}-15n-14}{n(n-1)}$

Pour P(C), le premier jeton est vert et le second est rouge. Donc $p(c)=7n∗(n−1)−6n−1p(c)=\frac{7}{n}*\frac{(n-1)-6}{n-1}$ ?

Le raisonnement est juste, le calcul final est faux (erreur de signe).

on doit bien additionner ? c'est là où j'hésite, s'il faut additionner la proba d'obtenir deux verts et celle d'obtenir deux rouge.

Oui,

Pour P(B) tu additionnes.
7*6/n(n-1) + (n-7)(n-8)/n(n-1) =
(42 + n² - 7n - 8n + 56)/n(n-1) =
...

D'accord, ça donne comme résultat $p(b)=n2−15n+98n(n−1)p(b)=\frac{n^{2}-15n+98}{n(n-1)}$ !!! et non ce que j'avais trouver. Merci !

Et Pour P(C), le premier jeton est vert et le second est rouge. Donc $p(c)=7n∗(n−1)−6n−1p(c)=\frac{7}{n}*\frac{(n-1)-6}{n-1}$ ?

Le P(C) est juste :
P(C) = 7/n*(n-7)/(n-1)
= 7(n-7)/n(n-1)

Pour le P(D),
il manque une fraction
P(D) = ....

Je viens de comprendre pour P(C), merci.

Pour P(D), on veut que les deux jetons soient de couleurs différentes (on fait le même procédé que pour P(B)).
c'est à dire qu'on va additionner P(C) avec la probabilité d'obtenir un premier jeton rouge et un second vert.
Soit, $\frac{7(n-7)}{n(n-1)}+\frac{6(n-7)}{n(n-1)}$
je comprend où était mon erreur, à la deuxième branche de mon arbre de proba, au tirage rouge; vert, j'avais oublier que le jeu était sans remise.

Merci bcp !

Pourquoi ce 6 à P(D), c'est 7.

je pensais qu'il fallait retirer -1 car le jeu est sans remise...
ça donnerai donc $p(d)=7(n−7)n(n−1)+7(n−7)n(n−1)p(d)=\frac{7(n-7)}{n(n-1)}+\frac{7(n-7)}{n(n-1)}$ ? je n'ai pas compris pourquoi on met 7.
Dans mon arbre de probabilité, j'ai :
deux branches au début avc une 1ère branche qui est de couleur Verte $7n\frac{7}{n}$ puis encore deux branches => une de couleur Verte $6n−1\frac{6}{n-1}$ et une autre de couleur rouge $(n−1)−6n−1\frac{(n-1)-6}{n-1}$
La deuxième qui est de couleur rouge $n−7n\frac{n-7}{n}$ puis encore deux branches => une de couleur verte $6n−1\frac{6}{n-1}$ et autre de couleur rouge => $(n−1)−6n−1\frac{(n-1)-6}{n-1}$ .
bah non !! ce n'est pas ça !!!!!! ah... la deuxième branche est fausse, c'est bon, je viens de comprendre !! l'ennoncer nous dit qu'il y a 7 jetons verts et les autres sont rouges (n). Donc pour la deuxième branche qui donne un jeton rouge avec $n−7n\frac{n-7}{n}$ puis les deux autres branches => une rouge avec $(n−1)−7n−1\frac{(n-1)-7}{n-1}$ => et une autre verte avec $7n−1\frac{7}{n-1}$ . C'est bien ça ? je ne sais pas si j'ai été suffisament claire dans mon éplication.. As-tu compris où je voulais en venir ?

Le 7 vient du fait qu'il y a 7 jetons verts et n-7 jetons verts.

Merci bcp Noemi de m'avoir aider à mieux comprendre cet exercice sur les probabilités !